2.6.2 双曲线的几何性质 [学习目标] 1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题． 一、双曲线的简单几何性质 问题 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a>0，b>0)的几何性质． 知识梳理 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 焦距 |F1F2|＝_____ 范围 对称性 对称轴：_____，对称中心：_____ 顶点 轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____ 离心率 e＝____(e>1) 渐近线 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 延伸探究 若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 反思感悟 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤 跟踪训练1 已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为_____；C的焦点到其渐近线的距离是_____． 二、由简单几何性质求标准方程 例2 求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； (2)一个焦点为(0,13)，且离心率为； (3)过点(2,1)的等轴双曲线． 反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ
0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程． 三、双曲线的离心率 例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 反思感悟 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 跟踪训练3 已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( ) A.＋1 B.＋1 C．2 D．2 1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)由简单几何性质求标准方程． (3)双曲线的离心率． 2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法． 3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( ) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( ) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是_____． 2.6.2 双曲线的几何性质 问题 1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点． 顶点 ... ... 