习题课 抛物线焦点弦的应用 [学习目标] 1.抛物线焦点弦的推导.2.利用抛物线焦点弦求解弦长问题． 一、x1x2＝，y1y2＝－p2的应用 例1 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为( ) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 反思感悟 通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速地得到结果． 跟踪训练1 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_____. 二、|AB|＝x1＋x2＋p＝的应用 例2 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 反思感悟 利用|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题，仅限于焦点在x轴正半轴时的情况． 跟踪训练2 经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝_____. 三、 ＋＝的应用 例3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( ) A．4 B. C．5 D．6 跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( ) A．5 B．6 C. D. 四、以过焦点的弦AB为直径的圆与准线相切的应用 例4 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 反思感悟 把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解． 跟踪训练4 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线上一点．若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：对焦点弦的结论盲目套用．上述结论是针对方程为y2＝2px(p>0)的抛物线而言的，不同的方程形式，结论有所不同． 1．过抛物线C：y＝x2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，则|AB|等于( ) A. B. C．13 D．9 2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为( ) A．2 B．4 C．2 D．8 3．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝_____. 4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为_____． 习题课 抛物线焦点弦的应用 例1 C 跟踪训练1 －4 例2 解 依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为 y＝－x＋.设直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝，∴＝8，∴p＝2， 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. 跟踪训练2 2 例3 B 跟踪训练3 C 例4 证明 如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′， 则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 在直角梯形BB′A′A中， |MM′|＝(|AA′|＋|BB′|) ＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|， 即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径． 故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 跟踪训练4 B 随堂演练 1．D 2.C 3.10 4.4(
课件网) 习题课 第二章 <<< 抛物线焦点弦的应用 1.抛物线焦点弦的推导. 2.利用抛物线焦点弦求解弦长问题. 学习目标 前面我们已经掌握了抛物线的一些性质，对于抛物线焦点弦的有关结论，如果在解题中能灵活应用则将起到事半功倍的效果. 设AB ... ...
