专题10与三角形有关的角 知识解读 1.与三角形的角平分线有关的角 （1）如图10-1①，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则. （2）如图10-1②，点P是的外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，则. （3）如图10-1③，点P是∠ABC的平分线和∠ACE的平分线的交点，则. 2.利用外角比较角的大小 “三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角”，这是比较角的大小的常用方法. 3.三角形的角的计算 培优学案 典例示范 1.与三角形的角平分线有关的角 例1 如图10-2，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，试说明. 提示：. 【技巧点评】 三角形两个内角平分线的交角等于90°加上第三角的一半的和. 跟踪训练 1.如图10-3，点P是△ABC的外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，试说明. 例2 如图10-4，点P是∠ABC的平分线和∠ACE的平分线的交点，试说明. 提示：. 【技巧点评】 三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角等于第三角的一半. 跟踪训练 2.如图10-5，∠ABC与∠ACG的平分线交于；与的平分线交于；如此下去，与的平分线交于，探究与∠A的关系（n为自然数）. 2.利用外角比较角的大小 例3如图10-6，点P是△ABC内的一点，求证：∠BPC>∠A. 提示：延长BP交AC于点D，则∠BPC>∠PDC，∠PDC>∠A.要说明角的大小关系时，经常采用“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角”. 跟踪训练 3.如图10-7，在△ABC中，D在BC的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上，试比较∠1与∠2的大小. 3.三角形的角的计算 例4如图10-8，将△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠1、∠2与∠A之间有一种数量关系始终保持不变，请你找出这一规律，并说明理由. 提示：连接，由三角形外角的性质得到，. 【技巧点评】 折叠后的图形与原来的图形形状、大小完全一样. 跟踪训练 4.如图10-9，将△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠1、∠2与∠A之间有怎样的数量关系呢？请说出你的理由 培优训练 1.（2017·湖南株洲）如图10-10，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD的度数是（ ） A. B. C. D. 2.（2017·黑龙江大庆）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ） A.120° B. C. D. 3.（2017·四川德阳）在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（ ） A.15° B. C. D. 4.（2016·四川乐山）如图10-11，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ） A. B. C. D. 5.（2016·山东枣庄）如图10-12，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ） A.15° B.17.5° C.20° D.22.5° 6.（2017·青海）如图10-13，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，若∠A=50°，则∠BOC= . 7.如图10-14所示，在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数. 8．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数． 9．（2016·四川内江） 问题引入 （1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=a，则∠BOC= （用a表示）；如图2，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=a，则∠BOC= （用a表示） 拓展研究： （2）如图3，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=a，猜想∠BOC= （用a表示），并说明理由． （3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=a，请猜想∠BOC= ． 挑战竞赛 1．（第15届希望杯）若三角形三个内角∠A、∠B、∠C的关系满足3∠A>5∠B，3∠C≤2∠B，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状无法确定 ... ...
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