习题课 均值不等式 均值不等式≤(a>0，b>0)的应用广泛，方法灵活多变，常见考查情形有连续运用均值不等式求最值、求变量的取值范围、比较大小，另外均值不等式也常和其他知识交汇考查. 一、连续运用均值不等式求最值 例1 已知a>b>0，求a2+的最小值. 反思感悟 多次使用均值不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法. 跟踪训练1 已知a>0，b>0，求++2的最小值. 二、利用均值不等式求参数的值或取值范围 例2 已知4x+(x>0，a>0)在x=3时取得最小值，则a的值为 . 反思感悟 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题. (2)观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. 跟踪训练2 已知a>0，b>0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值等于 ( ) A.10 B.9 C.8 D.7 三、利用均值不等式比较大小 例3 已知0
Q>M B.M>P>Q C.Q>M>P D.M>Q>P 反思感悟 运用均值不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用均值不等式，特别注意其变形. (2)应注意成立的条件，即a+b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a=b；a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a=b. 跟踪训练3 (多选)设a，b为非零实数，则下列不等式恒成立的是 ( ) A.≥ab B.≥ C.≥ D.+≥2 四、与其他知识的交汇 例4 设y=ax2-4x+c(x∈R)的最小值为0，则+的最小值为 ( ) A.3 B. C.5 D.7 反思感悟 对于均值不等式和其他知识交汇问题，一般以其他知识为载体，通过对所给条件(其他知识)的研究，得到一个等式，在此条件下利用均值不等式解决问题. 跟踪训练4 若点A(-2，-1)在函数y=-x-的图象上，其中m>0，n>0，则+的最小值为 ( ) A.2 B.4 C. D. 1.知识清单： (1)连续运用均值不等式求最值. (2)利用均值不等式求参数的值或取值范围. (3)利用均值不等式比较大小. (4)均值不等式与其他知识的交汇问题. 2.方法归纳：消元法、换元法、拼凑法、“1”的代换等. 3.常见误区：在同一个题目多次使用均值不等式时，一定要注意等号成立的条件是否一致. 1.已知0-1时，y=有 ( ) A.最小值 B.最大值4 C.最小值 D.最大值 3.已知点P(x，y)在一次函数y=-4x+2的图象上运动，则它的横纵坐标之积取得最大值时，点P的坐标为 ( ) A.(1，-2) B. C. D. 4.已知x>0，y>0，+=1，则使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是 . 答案精析 例1 解 由a>b>0，得a-b>0， ∴b(a-b)≤=. ∴a2+≥a2+≥2=4，当且仅当b=a-b且a2=，即a=，b=时取等号. ∴a2+的最小值为4. 跟踪训练1 解 ∵a>0，b>0， ∴++2≥2+2 ≥4=4， 当且仅当a=b=1时，等号成立. 例2 36 解析 4x+≥2=4， 当且仅当4x=，即x==3时，等号成立， ∴a=36. 跟踪训练2 B ［因为a>0，b>0，所以2a+b>0， 所以要使+≥恒成立， 只需m≤(2a+b)恒成立， 而(2a+b)=4+++1≥5+4=9， 当且仅当a=b时，等号成立， 所以m≤9. 所以m的最大值为9.］ 例3 B ［因为0， 又因为<<=， 故M>P>Q.］ 跟踪训练3 AB ［由a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，可知A正确； ==≥==，当且仅当a=b时等号成立，可知B正确； 当a=b=-1时，不等式的左边为=-1， 右边为=-，可知C不正确； 当a=1，b=-1时，可知D不正确.］ 例4 A ［由题意知a>0，二次函数y=ax2-4x+c的图象与x轴有一个交点，则Δ=16-4ac=0， 所以ac=4，c>0.则+≥2×=3， 当且仅当=，即a=6，c=时取等号，则+的最小值是3.］ 跟踪训练4 D ［因为点A(-2，-1)在函数y=-x-的图象上，所以-2m-n+2=0，即 ... ... 