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课件网) 习题课 利用导数研究函数的综合问题 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 学习目标 1.结合函数图象利用导数研究函数的零点的问题. 2.利用导数研究恒成立问题. 3.利用导数解决生活中的实际问题. 复习导入 求函数极值的一般方法步骤： (1)求定义域； (2)求 f '(x) ； (3)求导数的零点； (4)列表断号； (5)下结论. 若在x0附近，f '(x) 左正右负，则 f (x0) 为极大值； + - x0 - + x0 若在x0附近，f '(x) 左负右正，则 f (x0) 为极小值. 解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时： 复习导入 求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为： （1）准确求导f '(x)； （2）解方程f '(x)= 0 ，列表法求出区间（a,b）内的所有极值； （3）将f(x)的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 题型讲解 一、利用导数研究函数的零点或方程的解 题型讲解 l l 例7: 给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； 解：(1)函数的定义域为， 令，得，解得. 当变化时，，的变化情况如下表： 单调递减 单调递增 ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.当时，有极小值. 题型讲解 l l 例7: 给定函数. (2) 解：(2) l 令，解得. 当时，；当时，. ∴的图象经过特殊点，，. 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而 当时，. 根据以上信息，我们画出的大致图象如右图所示. 画出函数的大致图象； 题型讲解 l l 例7: 给定函数. (3)求出方程的解的个数. 解： l (3)方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数. ∴关于方程的解的个数有如下结论： 当时，解为个； 当或时，解为个； 当时，解为个. 当=2时， 由图可得 题型总结 总结：由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象,并判断出零点的个数： (1) 求出函数f(x)的定义域； (2) 求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； (3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5) 画出f(x)的大致图象. 巩固练习 跟踪训练: 1.方程(x＋1)ex＝a(a>0)解的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 √ 设f(x)＝(x＋1)ex，所以f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex， 当x>－2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x<－2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x→－∞时，f(x)<0， 当x→＋∞时，f(x)>0. 函数f(x)的大致图象如图所示， 因为a>0，所以方程(x＋1)ex＝a(a>0)的解的个数为1. 解析： 题型讲解 二、导数在解决实际问题中的应用 题型讲解 问题：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 例 8：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.其中r(单位：cm)是瓶子的半径。已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm. （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解： 由题意可知，每瓶饮料的利润是 所以 题型讲解 （1）半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， （2）半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小，这时<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。 r (0，2) 2 (2，6] f '(r) 0 f (r) - + 减函数↘ 增函数↗ -1.07p 因此，当半径,,单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径,,单调递减，即半径越大，利润越低； 题型讲解 换一个角度： 如果我们不用导数工具,直接从函数的图象(图5.3-18)上观察,你有什么发现 从图象上容易看出, 1.当r=3时,f(3)=0,即瓶子半径是3cm时,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等; 2.当r>3时,利润才为正 ... ...
