培优课 不等式恒(能)成立问题 课标要求 1.能利用不等式恒(能)成立问题求参数的范围. 2.注意数形结合、转化等思想方法的应用. 一、不等式恒成立问题 角度1 数形结合法 例1 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围； (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. _____ _____ _____ _____ 思维升华 (1)若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位于x轴上方 (2)若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位于x轴下方 训练1 (1)若关于x的不等式x2－x＋m<0的解集是 ，则实数m的取值范围是_____. (2)若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)·x2－(a－1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为_____. 角度2 分离参数法 例2 (1)对任意的x∈(－∞，0)，x2－m＋x>0恒成立，则m的取值范围是( ) A.{m|－22} C. D. (2)已知命题p：“ x∈[1，4]，a≤2x2＋6”为真命题，则实数a的最大值是_____. 思维升华 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求二次函数的最值问题. 训练2 (1)写出使不等式x＋≥3(x∈R＋)恒成立的一个实数a的值_____. (2)已知命题“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a>0”是假命题，则实数a的取值范围是_____. 角度3 主参换位法 例3 已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围. _____ _____ _____ _____ 思维升华 若给出参数的范围，求变量x的范围时，把变量x与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据参数的取值范围求解. 训练3 若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意a∈[－2，4]恒成立，则x的取值范围为( ) A.(－∞，－8]∪[3，＋∞) B.(－∞，0]∪[1，＋∞) C.[－8，6] D.(0，3] 二、不等式能成立问题 例4 (1)命题“ x∈R，mx2－2mx＋1>0”是假命题，则实数m的取值范围为( ) A.{m|0≤m<1} B.{m|m<0或m≥1} C.{m|m≤0或m≥1} D.{m|00在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，5) B.(5，＋∞) C.(－4，＋∞) D.(－∞，4) 3.若命题“ x∈R，x2－2x－1≥a2－3a”为假命题，则实数a的取值范围为_____. 4.若存在实数x，使得关于x的不等式ax2－4x＋a－3<0成立，则实数a的取值范围是_____. 培优课 不等式恒(能)成立问题 例1 解 (1)当k=0时,原不等式化为-2<0, 显然符合题意. 当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2), ∵y=kx2+2kx-(k+2)<0恒成立, ∴其图象都在x轴的下方,即开口向下, 且与x轴无交点. ∴解得-1
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