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课件网) 8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定 「学习目标」 1.在发现和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养. 2.通过求直线与平面所成的角,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 知识梳理 自主探究 1.直线与平面垂直 「知识探究」 定义 一般地,如果直线l与平面α内的 直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 .它们唯一的公共点P叫做 .过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的 ,垂线段的长度叫做这个点到该平面的 图示 画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 任意一条 垂线 垂面 垂足 垂线段 距离 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直 符号 语言 l⊥a,l⊥b,a α,b α, l⊥α 图形 语言 2.直线与平面垂直的判定定理 两条相交直线 a∩b=P 有关概念 对应图形 斜线 与平面α ,但不和平面α ,如图中 斜足 斜线和平面的 ,如图中 斜线在平面上的射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 ,过 叫做斜线在这个平面上的射影 直线与平面所 成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是 ;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 取值 范围 [0°,90°] 3.直线和平面所成的角 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线PO 垂足O和斜足A的直线AO 90° 0° 师生互动 合作探究 探究点一 线面垂直的定义及判定的理解 [例1] (1)下列说法中可以判断直线l⊥平面α的是( ) A.直线l与平面α内的一条直线垂直 B.直线l与平面α内的两条直线垂直 C.直线l与平面α内的两条相交直线垂直 D.直线l与平面α内的无数条直线垂直 √ 解析:(1)根据线面垂直的判定定理,直线垂直平面内两条相交直线,强调两条、相交,A,B不正确,C正确;根据线面垂直定义,直线垂直平面内的任一条直线,此时强调任一条,不是无数条,因为这无数条直线可能是平行的,D不正确.故选C. (2)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,n α,则“m⊥α”是“m⊥n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:(2)由线面垂直的定义知,若m⊥α,n α,则m⊥n成立,即充分性成立; 根据线面垂直的判定定理,m必须垂直平面α内的两条相交直线,才有m⊥α,即必要性不成立.故选A. √ 方法总结 直线与平面垂直的定义既是判定又是性质,因此具有双向作用: 一是证明线面垂直:即若任意直线a 平面α,都有l⊥a,则直线l⊥平面α,这里需要强调直线a是任意的,无数条直线也不能代替a的任意性,但是两条相交直线可以代替任意一条直线. 二是证明线线垂直:即若直线l⊥平面α,直线a 平面α,则l⊥a. [针对训练] (多选题)下列平面中的两条直线与直线a垂直,可以保证直线a与该平面垂直的是( ) A.四边形的两边 B.正六边形的两边 C.圆的两条直径 D.三角形的两边 √ √ 解析:对于A,四边形中的两条边可能平行,如平行四边形的对边,此时不能保证线面垂直;对于B,若直线垂直于正六边形的两条平行的边,此时不能保证线面垂直; 对于C,圆的两条直径交于圆心,故能保证线面垂直; 对于D,三角形的任意两边一定相交,故能保证线面垂直.故选CD. 探究点二 线面垂直的判定 [例2] 如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC= 90°,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.求证: (1)BC⊥平面PAB; 证明:(1)因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC, 所以PA⊥BC. 因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC. 又AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB, 所以BC⊥平面PAB. (2)AE⊥平面PBC; 证明:(2)因为BC ... ...
