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课件网) 第2课时 直线与平面垂直的性质 8.6.2 直线与平面垂直 「学习目标」 1.在发现、推导和应用直线与平面垂直的性质定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养. 2.通过空间距离的求解,培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 知识梳理 自主探究 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 符号语言 图形语言 作用 ①线面垂直 线线平行 ②作平行线 1.直线与平面垂直的性质定理 「知识探究」 平行 a∥b 直线到平面的距离 一条直线与一个平面 时,这条直线上 到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离 平面到平面的距离 如果两个平面 ,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都 ,我们把它叫做这两个平行平面间的距离 2.空间距离 平行 任意一点 平行 相等 师生互动 合作探究 探究点一 线面垂直性质的应用 [例1] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1. 证明:因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1, AD1 平面ADD1A1,所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD=D,A1D,CD 平面A1DC, 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC, 所以MN∥AD1. 方法总结 (1)当题中垂直条件很多,但又需证两直线平行关系时,就要考虑直线和平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化. (2)要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论.因此,在解题时,要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用. [针对训练] 如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的点,F是AC上的点,且EF与异面直线AC,A1D都垂直相交. 求证:EF∥BD1. 证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD,B1D1, 因为DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以DD1⊥AC. 又因为AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD,DD1 平面BDD1B1, 所以AC⊥平面BDD1B1. 又因为BD1 平面BDD1B1,所以AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C. 又因为AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,所以BD1⊥平面AB1C. 因为EF⊥A1D,A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又因为EF⊥AC,AC∩B1C=C, AC,B1C 平面AB1C,所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1. 探究点二 空间距离 (1)求证:MN⊥AD. (2)求证:MN∥平面PBC,并求直线MN到平面PBC的距离. 方法总结 直线到平面的距离、平面到平面的距离一般都转化为点到平面的距离,求点到平面的距离一是考虑直接法,二是考虑等体积法. [针对训练] (1)若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为 ; 解析:(1)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,因为A1C1 平面A1B1C1D1,所以A1C1∥平面ABCD.所以A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.因为正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,所以 AA1= 解析:(2)因为平面α∥平面A1D1CB,AD 平面α,所以AD到平面A1D1CB的距离即为平面α与平面A1D1CB间的距离.易知AD∥平面A1D1CB,从而点A到平面A1D1CB的距离即为所求.如图,过点A作AH⊥A1B于点H.因为A1D1⊥平面A1B1BA,AH 平面A1B1BA,所以A1D1⊥AH,又A1D1∩A1B=A1,A1D1,A1B 平面A1D1CB,所以AH⊥平面A1D1CB,则AH即为所求. (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有一过AD且与平面A1D1CB平行的平面α,AA1=5,AB=12,则平面α与平面A1D1CB间的距离是 . 「当堂检测」 1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 解析:因为l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A, 所以l⊥平面ABC. 同理可证m⊥平面ABC,所以l∥m.故选C. √ 2.(多选题)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则下列结论正确的是 ( ) A.PB⊥BC B.PD⊥CD C.PD⊥BD D.PA⊥BD √ √ √ 3.(多选题 ... ...
