人教A版高中数学选择性必修三 8.2第3课时 指数函数模型与幂函数模型-同步练习 1.某公司对某产品做市场调查，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天的销量y(吨)的一组数据，根据这组数据制作了如图所示的统计表和散点图． iyi iyi 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中t＝. (1)根据散点图判断，＝x＋与＝x－1＋哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果，建立y关于x的经验回归方程； (3)若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据(2)的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？ (经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－) 2．根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2022年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2018年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 1 2 3 4 5 每周人均读书时间y(小时) 1.3 2.8 5.7 8.9 13.8 现要建立y关于x的经验回归方程，有两个不同的经验回归模型可以选择，模型一＝x＋；模型二＝x2＋，即使画出y关于x的散点图，也无法确定哪个经验回归模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的经验回归方程为＝3.1x－2.8. (1)请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的经验回归方程(计算结果保留到小数点后一位)； (2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为(yi－i)2＝3.7. 参考数据：≈0.52，其中ti＝x，i＝1,2,3,4,5. 参考公式：经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－. 3．中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是20 ℃)． 泡制时间x/min 0 1 2 3 4 水温y/℃ 85 79 74 71 65 (1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图(图略)，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即20 ℃)就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx＋20(x≥0)来刻画． ①令z＝ln(y－20)，求出z关于x的经验回归方程； ②利用①的结论，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k与c. (2)你认为该品种绿茶用85 ℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 参考数据：ln 65≈4.2，ln 59≈4.1，ln 54≈4.0，ln 51≈3.9，ln 45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6， 参考公式：＝x＋，＝，＝－. 4．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量x/万元 2 4 6 8 10 12 收益y/万元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值： iyi 7 30 1 464.24 364 (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： ①剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程； ②广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？ 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－. 参考答案与详细解析 1．解 (1)根据散点图可知，＝x－ ... ...
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