湖南省长沙市宁乡市第一中学2024?2025学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题（含答案）

湖南省长沙市宁乡市第一中学2024 2025学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．设复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D．2 2．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ） A． B． C．1 D．2 3．若圆关于直线对称，则（ ） A．-1 B．1 C．3 D．-3 4．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型（其中e＝2.71828…）拟合，设，得到数据统计如下表： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 x 1 2 3 4 5 y m 11 20 36.6 54.6 z n 2.4 3 3.6 4 由上表可得回归方程，则m的值约为（ ） A．2 B．7.4 C．1.96 D．6.9 5．定义：一对轧辊的减薄率.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为，若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为，则（ ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知的内角所对的边分别为，若，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C． D． 10．已知为上的奇函数，且在上单调递增，，则下列命题中一定正确的是（ ） A． B．有3个零点 C． D． 11．若函数满足，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ） A． B．为奇函数 C．关于直线对称 D．在区间上单调递增 三、填空题（本大题共3小题） 12．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为 . 13．已知，，，则的最大值是 . 14．数学课上，老师出了一道智力游戏题.如图所示，平面直角坐标系中有一个3乘3方格图（小正方形边长为1），一共有十六个红色的格点，游戏规则是每一步可以改变其中一个点的颜色（只能由红变绿或绿变红），如将其中任何一个点由红色改成绿色，则这个点周围与之相邻的点也要从原来的颜色变成另外一种颜色，比如选择变成绿色，则与之相邻的，，，四个点也要变成绿色，那么最少需要 步，才能使得位于直线上的四个点变成绿色，而其他点都是红色. 四、解答题（本大题共5小题） 15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，△ABC的面积为，求b． 16．已知等比数列的公比，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面（垂足H在矩形内），E为棱的中点，平面. (1)证明：； (2)若，直线PC与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为. (1)求与的方程； (2)过坐标轴上的点可以作两条与的公切线. （i）求点的坐标. （ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由. 19．北京时 ... ...