第一章 空间向量与立体几何 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第一章 空间向量与立体几何 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 一、单选题 1．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）． A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ） A．3 B． C．7 D． 5．设、，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A．// B． C．//平面 D．平面 7．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A． B． C．的长为 D． 9．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 10．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面所成二面角的正弦值为 11．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．在三棱锥中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的正切值为 ． 13．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 . 14．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ． 15．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是 ． ①直线平面 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线AP与所成角的取值范围是 ④直线与平面所成角的正弦值的最大值为 四、解答题 16．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 17．如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 18．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 19．如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离； (3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 参考答案 1．A 利用空间向量线性运算法则进行运算即可. 因为在平行六面体中，， 所以. 故选：A. 2．C 将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果 由题意得，， 因为 , 所以 ， 所以， 故选：C 3．A 根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值. ，， ， ，，，. 故选：A. 4．C 利用空间向量四点共面性质求解即可. 由P，A，B，C四点共面，可得，，共面， 设， 则，解得． 故选：C. 5．D 利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 因为，则，解得，则， 因为，则，解得，即， 所以，，因此，. 故选：D. 6．B 建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答. 在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，是底面的中心，分别是的中点， 则，，， 对于A，显然与不共线，即 ... ...