1.2空间向量基本定理 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 1.2空间向量基本定理 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 一、单选题 1．若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（ ） A． B． C． D． 4．在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（ ） A． B． C． D． 5．给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（ ）是真命题． A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 二、多选题 6．在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）. A．若点P在直线上，则 B．若点P在直线上，则 C．若点P在平面内，则 D．若点P在平面内，则 7．下列说法正确的是（ ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 8．下面四个结论正确的是（ ）， A．空间向量，若，则 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．任意向量满足 三、填空题 9．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 . 10．如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为 . 11．设,且是空间向量的一组基底.给出下列向量组：①,②,③,④.其中可以作为空间向量的一组基的有 个. 12．如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示） 13．如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ． 14．已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是 ． 四、解答题 15．在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 16．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 17．如图，和是不在同一平面上的两个矩形，，，记，，.请用基底，表示下列向量： (1)； (2)； 18．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，，，，为中点． (1)用空间的一组基表示，； (2)求，的值． 19．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长. 参考答案 1．B 借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 2．C 根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可. 记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 3．C 根据空间向量的线性运算即可得到答案. 因为为与的交点， 则 故选：C. 4．A 取的中点，连接，，根据空间向量线性运算法则计算可得. 取的中点，连接，， 因为是的中点，， 所以. 故选：A 5．B 利用空间向量共面定理依次判断即可. ①：由共面向量定理知，故①正确； ②：共线，则不与共线， 则不存在实数x，y，使，故②错误； ③：共面向量定理知，故③正确； ④：共线，不与共线， 则不存在实数x，y，使，故④错误． 故选：B 6．BCD 根据空间向量的基本定理可判断A，B；结合四点共面的结论可判断C，D. 对于A，若点P在直线上，则，则， 由于三点共 ... ...