2024-2025学年浙江省杭州第二中学高二上学期期末 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.与的等比中项为( ) A. B. C. D. 2.双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 3.已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是( ) A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含 4.在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 5.已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.设等差数列的前项和为，已知．，则等差数列的公差为( ) A. B. C. D. 7.若直线与交于两点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.已知数列满足，，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题中正确的是( ) A. 若空间向量、、，满足，，则 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若、是两个单位向量，则 10.已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项和为，下列说法正确的是( ) A. 不可能是等差数列 B. 若，则 C. 是等差数列 D. 若单调递减，则单调递增 11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，下列说法正确的是( ) A. 抛物线的准线为 B. 若直线过点，则 C. 抛物线上到直线距离为的点共有个 D. 的周长大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在等比数列中，已知，，则公比 ． 13.点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是 ． 14.已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，为坐标原点，分别为的中点，且，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆． 求的取值范围； 若，过作圆的切线，求切线的方程． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，，且． 求证：平面； 求平面与平面夹角的余弦值； 17.本小题分 已知数列的前项和为，若，且． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 18.本小题分 已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． 求的方程； 设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 19.本小题分 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． 证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； 设，数列的前项和为，且恒成立，求的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 所以的取值范围为； 若，则圆， 即，则圆心为，半径为， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线方的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为， 即． 综上所述，切线的方程为，或． 16.【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为， 所以，而，且平面， 所以平面； 因为平面，平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17.解：当时，． 当时，，用代替，可得：， 两式相减得：， 又， 所以是以为首项为公比的等比数列，所以． ， 所以：， ， 两式相减得 ， 所以：． 18.【详解】因为是椭圆上任意一点，且的周长为，则，可得， 设点，则且，所以，， 易知，则 ， 所以，的最小值为，所以，，解得，则， 因此，椭圆的方程为． 如下图所示： 若直线与轴重合时，此时，，则， 若直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则， ... ...
