第五章 培优点 可转化为数列解决的创新问题（课件+学案，共2份）人教B版（2019）选择性必修 第三册

数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数和其他数学问题的基本工具.高考试题中，可转化为数列解决的创新问题常常出现. 各种可转化为数列解决的创新问题，一般要认真阅读题意，理清条件和结论，转化为等差或等比数列模型，再结合等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式、各种性质等有关知识解决，要注意步骤的规范性. 类型一　几何问题 例1 如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，前n个内切圆的面积和为_____. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型二　新定义问题 例2 (多选)设正整数n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak.则(　　) A.ω(2n)＝ω(n) B.ω(2n＋3)＝ω(n)＋1 C.ω(8n＋5)＝ω(4n＋3) D.ω(2n－1)＝n 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型三　数学文化 例3 (2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型四　科技问题 例4 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是(　　) A.440 B.330 C.220 D.110 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 培优点　可转化为数列解决的创新问题 题型剖析 例1　π　[设第n个正三角形的内切圆的半径为an， ∵从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的， 每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的， ∴a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1，∴数列{an}是以a为首项，为公比的等比数列， ∴an＝×a， 设前n个内切圆的面积和为Sn， 则Sn＝π(a＋a＋…＋a) ＝πa ＝πa ＝×π ＝π＝π.] 例2　ACD　[对于A，ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1， 所以ω(2n)＝a0＋a1＋…＋ak＝ω(n)，A正确； 对于B，取n＝2，2n＋3＝7＝1·20＋1·21＋1·22，∴ω(7)＝3，而2＝0·20＋1·21，则ω(2)＝1，所以ω(7)≠ω(2)＋1，B错误； 对于C，8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ ... ...