1.1.2 空间向量基本定理（课件+学案+练习，共3份）人教B版（2019）选择性必修 第一册

1.1.2　空间向量基本定理 课标要求　1.理解共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题. 2.理解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题. 一、共面向量定理 1.思考　平面向量基本定理的内容是什么？在空间中是否仍然成立？ _____ _____ 2.填空　(1)共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝_____. (2)共面向量定理 ①如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝_____. ②由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y. 温馨提示　(1)与共线，则A，B，C，D四点不一定共线. (2)设O，A，B，C是不共面的四点，对空间任一点P，都存在唯一实数组x，y，z，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面. 3.做一做　对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是_____向量(填共线或共面). 二、空间向量基本定理 1.思考　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？ _____ _____ 2.填空　(1)如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝_____.特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0 x＝y＝z＝0. (2)基底：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式.空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}.此时a，b，c都称为基向量. 温馨提示　(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底；基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式可能不同. (2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 3.做一做　判断正误 (1)若{a，b，c}为空间一组基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一组基底.(　　) (2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示.(　　) (3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一组基底.(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底.(　　) 题型一　共线、共面问题 例1 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋ . (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面. (2)四点共面：若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面. 训练1 若点P在平面ABC内，O为平面ABC外的任意一点，且＝＋＋m，求实数m的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 题型二　基底的概念 例2 (1)设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出可以与a，b构成空间的一组基底的向量，则所有可以选择的向量为_____(填序号). (2)已知{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基底？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底. (2)方法：①如果 ... ...