5.4 数列的应用 课件（共19张PPT） 2024-2025学年人教B版2019 高中数学选择性必修第三册

(课件网) 第五章 数列 5.4 数列的应用 人教B版(2019)选择性必修第三册 1.了解利率、利息、存款、分期付款等问题与数列的关系. 2.能利用等差、等比数列知识解决与数列有关的问题. 问题1:在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又是采用怎样的计息方式呢？ “驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似. 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息= 本金×利率×存期. （1）单利计算公式： 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和（以下简称本利和），则有 . S=P(1+nr) 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 . S=P(1+r)n （2）复利计算公式： 注意：复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列. 例1 小张老师年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元) 解：设每年还款x元，需10年还清，则每年还款及利息情况如下： 第10年还款x元，此次欠款全部还清； 第9年还款x元过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元； 第8年还款x元过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元； …… 第1年还款x元过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元. 依题意有：x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20 000(1＋10%)10， ∴x＝≈3 255. ∴每年应还款3 255元. 例1 小张老师年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元) 分期付款的相关规定： (1)分期付款中，每期的利息均按复利计算，分期付款中规定每期所付款额相同； (2)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和(此为列方程的依据)； (3)每期付款增值后的款数及售价增值后的款数均按S＝P(1＋r)n来计算，其中P代表本金(可以是每期付款额x，也可以是商品售价)，n代表存期(月数或年数)，r代表利率，S代表本利和． 归纳总结 例2 某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱 全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱 解:∵购买设备时已付150万元，∴欠款为1 000万元， 依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}， 且a1=50+1 000×1%=60，a2=50+(1 000-50)×1%=59.5， a3=50+(1 000-50×2)×1%=59，…， an=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-0.5(n-1)(1≤n≤20，n∈N+)， ∴数列{an}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列， ∴a10=60-9×0.5=55.5，S20==1 105. ∴全部按期付清后买这40套机器设备实际共花费了1 105+150=1 255(万元). 故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元. 例2 某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一 ... ...