2.3　培优点　与圆有关的最值问题（课件+学案，共2份）人教B版（2019）选择性必修 第一册

培优点　与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等. 常见的有以下几种类型： (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线的斜率的最值问题. (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题. (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. 求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解. 类型一　由特殊位置求最值 例1 (1)已知点P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，则四边形PACB面积的最小值是(　　) A. B.2 C. D.2 (2)直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0被圆x2＋y2＝16所截得的弦长的最小值为_____. _____ _____ _____ 类型二　由几何意义求最值 例2 已知实数x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求下列各式的最值： (1)；(2)x2＋y2；(3)x＋y. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 培优点　与圆有关的最值问题 例1　(1)C　(2)2　[(1)圆C的标准方程为 (x－1)2＋(y－1)2＝1， 圆心C(1，1)，半径r＝1，根据对称性， 可知四边形PACB的面积为 2S△APC＝2×·|PA|·r＝|PA|＝， 要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，此时PC⊥l. 又圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2， 则|PC|的最小值为2. 所以四边形PACB面积的最小值为 ＝＝. (2)直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0可化为x－2y＋1＋m(2x＋3y－5)＝0， 由得 即直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0过定点P(1，1). 而圆x2＋y2＝16的圆心为O(0，0)，半径r＝4，所以根据圆的几何性质，可知当直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0与OP垂直时，直线被圆所截得的弦长最小，即2＝2＝2.] 例2　解　(1)设k＝，变形为k＝，此式表示圆(x＋1)2＋y2＝上一点(x，y)与点(0，0)连线的斜率，由k＝，可得y＝kx(x≠0)，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得－≤k≤，故的最大值是，最小值为－. (2)由题意知x2＋y2表示圆(x＋1)2＋y2＝上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值. 原点(0，0)到圆心(－1，0)的距离d＝1， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝. 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. (3)令x＋y＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题可转化为斜率为－1的直线在经过圆(x＋1)2＋y2＝上的点时在y轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值， 此时有＝，解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1. 2.3.4　圆与圆的位置关系 知识探究 1.提示　当圆与圆的方程联立构成的方程组有两组不同的实数解时，两圆相交；当圆与圆的方程联立构成的方程组只有一组不同的实数解时，两圆相切；当圆与圆的方程联立构成的方程组无实数解时，两圆相离. 2.(1)d>r1＋r2　d＝r1＋r2　|r1－r2|5，即2a2＋6a ... ...