2024-2025学年安徽省鼎尖名校高二上学期1月期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省鼎尖名校高二上学期1月期末联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等差数列满足，则( ) A. B. C. D. 2.双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 3.若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 4.已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为( ) A. B. C. D. 5.已知平行六面体，满足，，，若的中点为，则的长度为( ) A. B. C. D. 6.已知点，，点满足，同时满足，则点到轴的距离为( ) A. B. C. D. 7.在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 8.已知抛物线的焦点为，圆如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为若，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 数列为等比数列 10.如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是( ) A. 存在点使得平面 B. 无论点的位置，总有平面 C. 若是的中点，则到平面的距离为 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则 11.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是( ) A. 弦长的取值范围为 B. 若、两点的中点为，则直线的斜率为 C. 若点在第一象限，满足的面积为，则 D. 若弦的中垂线与轴交于点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列的前项和为，且，则 ． 13.已知过点有两条直线与圆相切，切点分别为，，则 ． 14.某同学设计了一种小游戏，规则如下：从第二局起，每一局将上一局中一个白球变成一个白球和一个黑球，一个黑球变成一个白球和两个黑球．按如此规律，若初始第一局为一个白球，则第七局游戏后所得白球与黑球的总数为 ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，． 求数列与的通项公式； 求数列的前项和． 16.本小题分 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其纵坐标为，且． 求的值； 直线与抛物线相交于两点，若，求面积的最大值． 17.本小题分 如图，正六边形的边长为，将梯形沿翻折至，形成多面体，其中为的中点，连接． 若点为的中点，证明：平面； 若，求多面体的体积； 若二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 已知数列满足，，是与的等比中项． 求数列的通项公式； 数列满足，求数列的前项和； 若数列对任意的，当时，都有成立，，求数列的前项和． 19.本小题分 已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点． 求曲线的方程； 证明：为定值； 已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点均异于点，过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 计算可得，可得或， 又因为，所以， 由此可得， ； ， 所以， 利用等差数列与等比数列的求和公式计算可得， ． 16.【详解】分析可得，点在抛物线上且纵坐标为， 代入抛物线方程，得点的横坐标为， 因为，根据抛物线的定义可得， ，计算可得； 由可得抛物线方程：，设，， 联立可得， 韦达定理可得，，， 所以弦长 ， 直线的方程的一般式为， 所以点到直线的距离为， 所以的面积为， 因为，所以当时，取得最大值． 17.【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面 ... ...