2025年“大梦杯”青少年数学水平测试参考答案 测试时间2025年3月9日9：00一11：00满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A,B,C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里， 不填、多填或错填都得0分) 1.已知A,B,C为反比例函数y=(k>0)图象上的三点，D为线段AB的中点， CD⊥AB,若点A,B关于直线y=x对称，且CD=√2，AB=6N2,则k=() A.8 B.12 C.16 D.36 【答案】C 【解答】因为反比例函数y=《的图象关于直线y=x对称，且点A,B关于直线y=x对 称，CD⊥AB, 所以点C在直线y=x上，设C(u,),则k=t2. 如图，作等腰直角三角形△ECD和△DFA. 因为CD=√2，AB=6N2, 所以D(t+1,t+1),A(t+1+3,t+1-3), 即 A1+4,t-2). 因为点A在反比例函数y=上的图象上， 0 所以(t+4)t-2)=k=t2 解得t=4,于是k=t2=16.选C (第1题答题图) 2.方程V3x2-3x+6-V3x2-6x+8-6x+4=0( ) A.无实数根 B.有且仅有一个实数根 C.有两个不同的实数根 D.有三个不同的实数根 【答案】B 【解答】依题意原方程化为V3x2-3x+6-V3x2-6x+8=6x-4. 所以3r2-3x+6)-3x2-6x+8 =6x-4, V3x2-3x+6+V3x2-6x+8 即 3x-2 =2(3x-2). V3x2-3x+6+V3x2-6x+8 所以3x-2=0,即x=号或r-3x+6+5r-6+8= 因为5r-3+6=岁+马2,6r-6+8=-r4525, 所以3x-3x+6+6r-6x+8>即方程5x-3x+6+5x-6c+8=无实数解。 因此方程有且仅有一个实数根.选B. 3.满足方程组 2×3+3=39 的有序整数组(a,b,c,d)有（) a+b=cd A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 【答案】C 【解答】若a≤b,则3<3=2×3+3≤2×3+3=3+'，于是b
b,则3<3=2×3+3<2×3”+3=3+'，于是ab不成立. 综上可知，a=b=c-1. 将a=b=c-1代入a+b=cd,得2c-2=cd, 显然c≠0，于是d=2-2 因为c,d为整数， 所以 d=0'或/c2 d=1 由此可得符合条件的有序整数组(a,b,c,d)为(-3，-3，-2,3)，(-2，-2，-1,4)， (0,0,1,0),(1,1,2,1),共4组.选C 4.如图，G为△ABC的重心，D,E,F分别为过点G的直线与△ABC的边AB,AC, BC延长线的交点，若CF=号BC,则△ADE与△ABC的面积之比为() A.B. c.月 D.3 A D E B 【答案】A (第4题图) 【解答】如图，连接AG并延长交BC于点M 因为直线DGF交△ABM的边AB,AM,BM的延长线于点D,G,F, 所以由梅涅芳斯定理知D.BF.MC=1 …①. DB FM GA A 同理，由直线GEF交△AMC的边AM,AC,MC的 延长线于点G,E,F,得AC.M.CE=1 …②. D GM FC EA 因为G为△ABC的重心， 所以M为BC中点，且MC=1,AC-2 GA2'GMT B M 又CF=BC, 21 (第4题答题图) BF 3 MF 2 F BM MC=CF,FM-FC 22025年“大梦杯”青少年数学水平测试 测试时间2025年3月9日9：00-11：00满分150分 三 题 号 总分 1~5 6≈10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人 答题时注意： 1.用圆珠笔或钢笔作答；不使用计算器； 2.解答书写时不要超过装订线； 3.草稿纸不上交 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为 A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的 代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分) 1.己知A,B,C为反比例函数y=k(k>0)图象上的三点，D为线段 AB的中点，CD⊥AB,若点A,B关于直线y=x对称，且CD=√2，AB=6N2, 则k=() A.8 B.12 C.16 D.36 2.方程√3x2-3x+6-√3x2-6x+8-6x+4=0() A.无实数根 B.有且仅有一个实数根 C.有两个不同的实数根 D.有三个不同的实数根 2025年“大梦杯”青少年数学水平测试第1页 共8页 3.满足方程组 2×3+3=3 的有序整数组(a,b,c,d)有() a+b=cd A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 4.如图，G为△ABC的重心，D,E,F分别为过点G的直线与△ABC的 边AB,AC,BC延长线的交点，若CF=BC,则△ADE与△ABC的面 ... ... 