7.2 勾股定理 课时学习目标 素养目标达成 1.经历探索勾股定理的过程,发展学生的推理能力 几何直观、推理能力 2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题 运算能力、模型观念、应用意识 3.尝试用多种方法验证勾股定理,体验解决问题策略的多样性、发展推理能力 几何直观、推理能力 基础主干落实 九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 勾股定理 文字语言直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 图示符号语言因为△ABC是直角三角形且∠C=90°,所以AC2+BC2= AB2 或 a2+b2 =c2 前提条件勾股定理只适用于直角三角形 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”): (1)直角三角形的两直角边长分别为1.5,2,斜边长一定是2.5. (√) (2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10. (×) (3)若a,b,c是直角三角形的三边长,那么a2+b2=c2. (×) 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边c的长为 (B) A.15 B.13 C.12 D.10 重点典例研析 循道而行 方能致远 重点1 勾股定理(模型观念、运算能力、应用意识) 【典例1】(教材再开发·P47习题7.2T8变式) 如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是 (A) A.144 B.194 C.12 D.13 举一反三 1.(2024·保定质检)如图,所有阴影部分的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为6,10,7,则正方形D的面积为 (D) A.11 B.16 C.17 D.23 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的面积为S2,则S1+S2= (C) A.4 B.9 C.18 D.36 重点2 勾股定理的拼图验证(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P45挑战自我变式)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b,AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 【自主解答】因为S梯形BCFG=S△AFG+S△AFC+S△ACB=ab+c2+ab=ab+c2, S梯形BCFG=·(FG+BC)·BG =(a+b)(a+b)=a2+ab+b2, 所以ab+c2=a2+ab+b2, 整理得a2+b2=c2. 举一反三 1.(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为 (D) A.24 B.36 C.40 D.44 2.将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放,∠ACB=∠DEA=90°,BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明. 【解析】S△ABC=BC·AC=ab,S△ACD=AC·DE=b2,S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=ab+b2, 因为∠ACB=90°,所以∠BAC+∠ABC=90°, 在△ABC和△DAE中, 所以△ABC≌△DAE,所以∠ABC=∠DAE, 所以∠BAC+∠DAE=90°,即∠BAD=90°, 因为∠ACB=∠DEA=90°, 所以DE⊥AC,AC⊥BC, 因为DF⊥BF,所以四边形CEDF是矩形, 所以DF=CE=AC-AE=b-a, 所以S△ABD=AB·AD=c2, S△BCD=BC·DF=×a×(b-a)=ab-a2, S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=c2+ab-a2, 所以ab+b2=c2+ab-a2,所以a2+b2=c2. 技法点拨 “双求法”证明勾股定理 双求法:用两种不同的方法和含有a,b,c的式子表示同一个图形的面积,通过化简即可完成勾股定理的证明. 名称 图例 双求法 赵爽 弦图 c2=4× ... ...
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