2.6.1 菱形的性质 分层训练（含答案） 2024-2025学年数学湘教版八年级下册

2.6　菱形 2.6.1　菱形的性质 知识点1　菱形的性质 1.(2024·岳阳华容县模拟)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(D) A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 2.(2023·湘潭中考)如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为(C) A.20° B.60° C.70° D.80° 3.(2024·岳阳平江县模拟)若菱形的周长为8,高为1,则菱形两邻角的度数比为(C) A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1 4.已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形较长的对角线长是(B) A.3 B.6 C.3 D.6 5.(2024·邵阳隆回县期末)已知菱形的周长为20,一条对角线长为8,则菱形的面积为　24　. 知识点2　菱形的性质的实际应用 6.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,根据实际需要可以调节AE间的距离.若AE间的距离调节到60 cm,菱形的边长AB=20 cm,则∠DAB的度数是(C) A.90° B.100° C.120° D.150° 7.如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周长为40 m,∠ABC=120°,在其内部有一个矩形花坛EFGH,其四个顶点恰好为菱形ABCD各边中点,现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为30元/m2,则需投资资金多少元 (取1.732) 【解析】连接AC,BD,AC,BD交于点O,如图: ∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,OA=AC, OB=BD,AC⊥BD,AB=BC=CD=AD,∵∠ABC=120°, ∴∠BAD=180°-∠ABC=60°,∴△ABD为等边三角形, ∵菱形的周长为40 m, ∴菱形的边长为10 m,∴BD=10 m, ∴OB=BD=5 m, ∵E,H分别是AB,AD边的中点,∴EH是△ABD的中位线,∴EH=BD=5 m, 在Rt△AOB中,∠AOB=90°, ∴OA==5 m, ∴AC=2OA=10 m,∵E,F分别是AB,BC边中点, ∴EF是△ABC的中位线,∴EF=AC=5 m, ∴S矩形=50 m2,则需投资资金50×30≈1 500×1.732=2 598(元). 8.如图,在菱形ABCD中,AE,AF分别垂直平分BC,CD,垂足分别为E,F,则∠EAF的度数是(C) A.30° B.45° C.60° D.90° 9.如图,菱形ABCD的边长是5,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分,若菱形的一条对角线的长为4,则阴影部分的面积为(A) A.2 B.4 C.12 D.24 10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段AE的长为　2　. 11.如图,菱形ABCD的周长为40,面积为25,P是对角线BD上一点,分别作P点到直线AB,AD的垂线段PE,PF,则PE+PF等于　2.5　. 12.(2024·怀化鹤城区模拟)如图,菱形ABCD中,P是对角线BD上的点,点E在AB上,且PA=PE. (1)求证:PC=PE; (2)写出∠CPE与∠ABC之间的数量关系,再说明理由. 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=AD,AD∥BC, ∴∠ADB=∠ABD=∠DBC,即∠ABP=∠CBP, 在△ABP和△CBP中, , ∴△ABP≌△CBP(SAS), ∴PA=PC, ∵PA=PE, ∴PC=PE; (2)∠ABC+∠CPE=180°. 理由:∵△ABP≌△CBP, ∴∠BAP=∠BCP,∵PA=PE, ∴∠BAP=∠PEA, ∴∠BCP=∠PEA, ∵∠AEP+∠PEB=180°, ∴∠BCP+∠PEB=180°, ∵∠BCP+∠PEB+∠ABC+∠CPE=360°, ∴∠ABC+∠CPE=180°. 13.(2024·邵阳绥宁县期中)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上. (1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF; (2)如图2,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形; (3)在(2)的条件下,如果AB=10,那么△AEF的周长是否存在最小值 如果存在,请求出来. 【解析】(1)如图1所示:连接AC. ∵在菱形ABCD中,∠B=60°, ∴AB=BC=CD,∠BCD=180°-∠B=120°. ∴△ABC是等边三角形. ∵E是BC的中点,∴AE⊥BC. ∵∠AEF=60°, ∴∠FEC=90°-∠AEF=30°. ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°. ∴∠FEC=∠CFE.∴EC=CF. ∴BE=DF. (2)如图2所示:连接AC. ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠ACB=60°,∠BAC=60°. ∴∠B=∠ACF=60°. ∵∠BAC=∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF. 在△ABE和△ACF中, ∴△ABE≌△ACF.∴AE=A ... ...