1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 导学案（含答案）2024-2025学年湘教版七年级数学下册

第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 学习目标： 理解并掌握乘法公式.（重点） 会灵活选用合适的乘法公式解决问题.（难点） 一、复习导入 我们已经学了哪些乘法公式？ （1）平方差公式： . （2）完全平方公式： . 注意：公式中的 a 与 b 既可以是数，也可以是单项式或多项式. 要点探究 探究点一：运用乘法公式进行计算 怎样计算下列各题？ （1）(x + 1)(x2 + 1)(x－1)； （2）(a + 3)2 (a－3)2； （3）(x + y + 4)(x + y－4). 注意：把 (x + y) 看作一个整体，那么 (x + y) 就相当于平方差公式中的 a，4 就相当于平方差公式中的 b. 典例精析 例1 用乘法公式计算下列各题 (x－3) (x2 +9) (x + 3). (2) (2x + 3)2(2x－3)2 总结：要根据具体情况灵活运用运算律、乘法公式、幂的运算法则（正用与逆用）. 例2 运用乘法公式计算： （1）(a + b + c)2； （2）(a + b－c)2. 例3 运用乘法公式计算：(a – b + c)(a + b – c). 方法总结：1.选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 2. 式子变形添括号时注意符号的变化. 针对训练 计算：(1)(a－b＋c)2； (1－2x＋y)(1＋2x－y) . 例4 运用乘法公式计算: (x + y)3. 思考 先填空：(1) 152 = 100×1×___ ＋ 25； (2) 252 = 100×2× ＋ 25； (3) 352 = 100× × ＋ . 由此猜测：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100× × ＋ . 例5 一个正方形花圃的边长增加到原来 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 ，求这个正方形花圃原来的边长. 二、课堂小结 1.运用乘法公式计算 ： （1）(x－2)(x + 2)(x2 + 4) （2）(x－1)2－ (x + 1)2 （3）(x + 1)2(x－1)2 （4）(a + 2b－1)(a + 2b + 1) （5）(a－b－c) 2 2.一个正方形的边长增加了 2 cm，它的面积就增加了 16 cm2，求这个正方形原来的边长. 3.先化简，再求值： 2b2 + (a + b)(a－b)－(a－b)2，其中 a = －3，b = . 参考答案 一、复习导入 (a + b)(a－b) = a －b (a + b)2 = a + 2ab + b (a－b) = a －2ab + b 要点探究 探究点一：运用乘法公式进行计算 （1）(x + 1)(x2 + 1)(x－1)； 解：原式 = (x + 1)(x－1)(x2+ 1) = (x2－1)( x2 + 1 ) = x4－1. （2）(a + 3)2 (a－3)2 . 原式 = [(a + 3)(a－3)]2 = (a2－9)2 = a4－18a2 + 81. （3）(x + y + 4)(x + y－4) . 解：原式 = [(x + y) + 4] [(x + y)－4] = (x + y)2－16 = x2+ 2xy + y2－16. 典例精析 例1 (x－3) (x2 +9) (x + 3).= x4－81. (2) (2x + 3)2(2x－3)2= 16x4－72x2 + 81. 例2 （1）解：(a + b + c)2 = [(a + b) + c]2= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. （2） 解： (a + b－c)2 = [(a + b)－c]2 = (a + b)2－2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2－2ac－2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab－2ac－2bc. 例3 解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)] = a2 – (b – c)2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – b2 + 2bc – c2. 针对训练 解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2 =(a－b)2＋c2＋2(a－b)c =a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc. (2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] = 12－(－2x＋y)2 = 1－4x2＋4xy－y2 . 例4 解：(x + y) = (x + y)( x + y) = (x + y)(x + 2xy + y2) = x + 2x y + xy2 + yx + 2xy + y3 = x + 3x y + 3xy + y . 思考 (1) 2 (2) 3 (3) 3 4 25 10a + 5 a a＋1 25 例5 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m. 由数量关系，得 (2x +1)2= 4x2 + 21， 化简，得 4x2 + 4x +1 = 4x2 +21， 即 4x = 20， 解得 x = 5. 答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m. 二、课堂小结 如何运用乘法公式进行计算： 1. ... ...