1.2.1 平方差公式 导学案（含答案）2024-2025学年湘教版七年级数学下册

第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.1 平方差公式 学习目标： 1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点） 一、复习导入 多项式与多项式是如何相乘的？ ( a + b )( m + n )= . (x＋3)( x＋5)= . 情境导入 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你觉得张老汉是否吃亏了 要点探究 探究点一：平方差公式 合作探究 算一算：看谁算得又快又准. ① (x + 1)( x－1)； ② (m + 2)( m－2)； ③ (x + y)(x－y)； ④ (5y + z)(5y－z). 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ 知识要点 平方差公式：(x + y)(x y) = x2 y2 . 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (x –y) (x + y) = x2 y2 ， (y + x)( y + x ) = x2 y2 . 典例精析 例1 计算：(1) ( 2x＋1)( 2x－1 )； (2) (x＋2y)(x－2y). 例2 运用平方差公式计算: (－2x－ y)(－2x＋ y). 练一练：口答下列各题： (l) (－x + y)(x + y) =_____. (2) (x－y)(y + x) = _____. (3) (－x－y)(－x + y) = _____. (4) (x－y)(－x－y) = _____. 填一填： (x + y)(x－y) x y x2－y2 (1 + x)(1－x) (－3 + a)(－3－a) (1 + a)(－1 + a) (0.3x－1)(1 + 0.3x) 例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a). 方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式 的形式 练一练 利用平方差公式计算： (1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4) . 探究点二：平方差公式的几何验证 合作探究 将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ 探究点三：平方差公式的几何验证 自主探究 想一想： (1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点： 6×8 = . 14×16 = . 69×71 = . 7×7 = . 15× 15 = . 70×70 = . (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母 表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ 典例精析 例4 计算：(1) 1002×998； 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 例5 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x ＝1，y ＝2. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算． 例6 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 二、课堂小结 1.下列式子可用平方差公式计算吗 为什么 如果能够，怎样计算 (1) (a + b)( a b)； (2) (a b)(b a)； (3) (a + 2b)(2b + a)； (4) (a b)(a + b)； (5) ( 2x + y)(y 2x). 2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1) (x + 2)(x－2) = x2－2； (2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4. 3. 已知 a = 7202 ，b = 721×719 ，则 ( ) A. a = b B. a＞b C. a＜b D. a≤b 4. 97×103 = ( )×( ) = ( ). 5. (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是 . 6. 利用平方差公式计算： (1) (a + 3b)(a－3b)； (2) (3 + 2a)(－3 + 2a)； (3) (－2x2－y)(－2x2 + y)； (4) (－5 + 6x)(－6x－5). 7. 利用平方差公式计算： (1) 51 ×49； (2) 13.2×12.8； (3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2). 能力拓展： 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2). 若 A ＝(2 + 1)(22 + 1)(24 ... ...