19.1　矩形 同步练习（2课时 学生版+解析版） 2024-2025学年数学华东师大版八年级下册

矩形的判定 【A层 基础夯实】 知识点1　矩形的判定 1.(2024·成都模拟)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若要使平行四边形ABCD成为矩形,需要添加的条件是(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.AC⊥BD B.OA=OB C.AB=BC D.∠ABD=∠DBC 2.下列各图中,是矩形的是(D) 3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4 cm,AD>AB,CD=5 cm,点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动,3秒后四边形ABPD是矩形. 4.(2023·岳阳中考)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项中①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD为矩形. (1)你添加的条件是　　　(填序号); (2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形. 【解析】(1)当∠1=∠2时, ABCD为矩形. 答案:①(或②答案不唯一) (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC, ∴∠A+∠D=180°, 在△ABM和△DCM中,, ∴△ABM≌△DCM(S.A.S.),∴∠A=∠D=90°,∴ ABCD为矩形. 5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证:FA=BD; (2)连结BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形. 【证明】(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE, 又∵E为AD的中点,∴AE=DE,∴△AEF≌△DEC(A.A.S.), ∴AF=DC,又∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴AF=BD; (2)∵AF=BD,AF∥BD,∴四边形ADBF是平行四边形, ∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°, ∴四边形ADBF是矩形. 知识点2　矩形的判定和性质的综合应用 6.如图,点A,B在直线l1上,点C,D在直线l2上,l1∥l2,CA⊥l1,BD⊥l2,AC=3 cm,则BD等于(C) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 7.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件: ①AB∥CD,②AD=BC. (1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形; (2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积. 【解析】(1)选择①, ∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形, ∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形; 选择②, ∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形, ∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形; (2) ∵∠ABC=90°,AB=3,AC=5,∴BC==4, ∴S四边形ABCD=AB·BC=3×4=12. 【B层 能力进阶】 8.要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是(C) A.测量两条对角线是否相等 B.度量两个角是否是90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 9.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连结EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是(D) A.AB=BE B.CE⊥DE C.∠ADB=90° D.BE⊥AB 10.(2024·攀枝花期末)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,点D是BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连结MN,则线段MN的最小值为 　. 11.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD, ∠OAD=50°,则∠OAB的度数为　40°　. 12.(2023·贵州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,延长CB至D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话: 小星:由题目的已知条件,若连结BE,则可证明BE⊥CD. 小红:由题目的已知条件,若连结CE,则可证明CE=DE. (1)请你选择一位同学的说法,并进行证明; (2)连结AD,若AD=5,=,求AC的长. 【解析】(1)小星: ∵AE∥BD,DE∥BA,∴四边形ABDE是平行四边形, ∴AE=BD,∵BD=BC,∴AE=BC,∵AE∥BC, ∴四边形AEBC是平行四边形,∵∠C=90°, ∴四边形AEBC是矩形,∴∠EBC=90°,∴BE⊥CD; 小红: ∵AE∥BD,DE∥BA,∴四边形ABDE是平行四边形, ∴AE=BD,AB=DE,又∵AE∥BD,∴∠EAC=∠BCA, 在△ABC和△CEA中,∴△ABC≌△CEA(S.A.S.), ∴AB=CE,DE=CE. (2)∵=, ∴设CB=2k,AC=3k,∴CD=4k,∵AC2+DC2=AD2, ∴(3k)2+(4k)2=(5)2,∴ ... ...