18.2.2 菱形 第1课时 知识点1 菱形的性质 1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 2.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上,若点A的坐标为(12,13),则点C的坐标是( ) A.(0,-8) B.(0,-5) C.(-5,0) D.(0,-6) 3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2 cm,AC=4 cm,则BD的长为 cm. 4.如图,已知E是菱形ABCD的边BC上一点,且∠DAE=∠B=80°,那么∠CDE的度数为 . 5.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N. 求证:(1)△ADE≌△CDF. (2)ME=NF. 知识点2 菱形性质的实际应用 6.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 °. 7.(2024·成都质检)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,且BE=BF,连接DE,DF.若∠ADC=140°,∠CDF=50°,则∠EDF的大小为 . 8.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB=6,菱形ABCD的面积为54,则OE的长为 . 9.在数学活动课上,学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板(△ABF和△CDE),按如图的方式放置,已知∠BAF=∠DCE=90°,AF=CE=3,AB=CD=4,连接AE,CF. (1)求证:四边形AECF是平行四边形; (2)若四边形AECF是菱形,求BD的长. 10.问题呈现:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线. 求证:CD=AB. 证明:延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE…… (1)请根据提示,结合图1,写出完整的证明过程. (2)结论运用: ①如图2,一根长度固定的木棍AB斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑,B端随之沿地面向右滑行,在此滑动过程中,点P到点O的距离 . A.变小 B.变大 C.不变 D.无法判断 ②如图3,点O为菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,过点C作CE⊥AB于点E,连接OE,OD=3,OE=2.则菱形ABCD的面积为 . 18.2.2 菱形 第2课时 知识点1 菱形的判定 1.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( ) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5. (1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由; (2)求证:四边形ABCD是菱形. 知识点2 菱形性质与判定的综合应用 4.如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD⊥CE于点O,点M,N分别是OB,OC的中点,若OB=8,OC=6,则四边形DEMN的周长是( ) A.14 B.20 C.22 D.28 5.(2024·重庆中考A卷)在学习了矩形与菱形的相关知识后,小明同学进行了更深入的研究,他发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的想法与思路,完成以下作图与填空: (1)如图,在矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线,分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE.(不写作法,保留作图痕迹) (2)已知:矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上,EF经过对角线AC的中点O,且EF⊥AC.求证:四边形AECF是菱形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD. ∴ ,∠OCF=∠OAE. ∵点O是AC的中点, ∴ . ∴△CFO≌△AEO(AAS). ∴ . 又∵OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形. ∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形. 进一步思考,如果四边形ABCD是平行四边形呢 请你模仿题 ... ...
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