2.4.1 圆的标准方程 教学设计

2.4.1圆的标准方程 (人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章第四节) 一、教学目标 1．根据圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，掌握待定系数法、几何性质法求出圆的标准方程； 2．会判断任意点与圆的位置关系； 3．体会形与数的转化，培养学生的直观想象和数学运算能力． 二、教学重难点 1．掌握圆的标准方程的建立与应用； 2．根据不同的已知条件，求圆的标准方程． 三、教学过程 1．提出问题，形象概括 问题1：在平面中，圆的定义是什么？如何用集合语言描述？ 【预设的答案】平面上，到定点的距离等于定长的点的集合，称为圆；其中，定点称为圆心，定长称为半径．设圆心为点，半径为，则圆就是以下点的集合：． 【设计意图】开门见山，引出课题“圆”．这是完成圆的标准方程的数学抽象第一阶段，即完成对现实世界中图形的抽象，得到圆的图形，获得圆的基本概念，此时是从感性具体上升到理性思维的过程，并引导学生用符号化的集合语言表示圆． 2．探究问题，生成新知 问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 【预设的答案】设圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，则根据两点间的距离公式有，两边平方得到(1)． 显然，若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在圆上． 如此，我们就可以通过方程(1)，在平面直角坐标系中确定一个圆． 问题3：圆的特征是什么？通过哪些要素刻画圆？ 【预设的答案】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心和半径这两个要素来刻画圆．所以，在平面直角坐标系中，确定一个圆的方程，核心就是确定它的圆心坐标以及半径大小．我们把方程(1)称为圆心为，半径为的圆的标准方程． 【设计意图】问题2和问题3是完成圆的标准方程的数学抽象第二阶段．第二阶段是基于逻辑的抽象，通过问题2和问题3，引导学生用符号化的语言表示圆的标准方程，从理性具体上升为理性一般的思维过程．这两个阶段同时也是学生完成直观想象的过程． 3．典例分析，深化理解 问题4： 例1．（1）判断下列方程是否为圆的方程： ①；②． （2）求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在这个圆上． （3）点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？ 【预设的答案】 解：（1）①是圆心为、半径为2的圆的方程； ②当时，不是圆的方程；当时，是圆心为、半径为的圆的方程． （2）圆心为，半径为5的圆的标准方程是． 把点的坐标代入方程成立，即点的坐标满足圆的方程，所以点在圆上； 把点的坐标代入方程不成立，即点的坐标不满足圆的方程，所以点不在圆上． （3）根据圆的定义，点在圆内的条件是点到圆心的距离小于半径，即；点在圆外的条件是点到圆心的距离大于半径，即． 【设计意图】例1（1）的设计有两个目的，一是加深学生对圆的方程结构特点的认识，二是已知圆的标准方程能获取圆心坐标和半径大小；方程②需要考虑是否为0，考察学生思维的严密性．（2）是课本上的例1，目的是引出（3），让学生学会判断点与圆的位置关系．这里有两种方法可以使用：一是根据点的坐标与圆的方程的关系判断（代数法），二是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断（几何法）．最后引导学生发现几何法与代数法的内在联系，渗透数形结合思想． 问题5： 例2．写出下列各圆的标准方程： （1）圆心为，半径是； （2）圆心为，且经过点； （3）以线段为直径的圆，其中； （4）△的外接圆，其中． 【预设的答案】 解：（1）； （2）解法1（几何法）：设圆的半径为，则，所以圆的标准方程是． 解法2（代数法）：设圆的标准方程是,将点的坐标代入方程得，所以圆的标准方程是． （3）设圆的半径为，则，即；圆心为中点，即，所以该圆的标准方程是． （4） ... ...