6.3 平面向量基本定理及坐标 学案（4份打包）（含答案） 2024-2025学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

6.3 课时3 平面向量数乘运算的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(数学运算) 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(数学抽象) 3.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线.(逻辑推理) 【自主预习】 1.若a=(x,y),则λa的坐标是什么 2.两向量共线的充要条件是什么 3.如何利用向量的坐标表示a,b两个向量共线 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=. ( ) (2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,则a∥b. ( ) (3)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),且x1y2-x2y1=0,则a∥b. ( ) (4)向量a=(1,2)与向量b=(4,8)共线. ( ) 2.已知向量a=(8,-2),b=(m,1),若a=λb,则实数m的值是( ). A.-4　　　B.-1　　　C.1　　　D.4 3.与a=(12,5)平行的单位向量为( ). A.,- B.-,- C.,或-,- D.,-或-, 4.已知向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),若向量2a+b与c共线,则λ= . 【合作探究】 　平面向量数乘运算的坐标表示 问题1:根据向量坐标表示的定义,已知向量a=(x,y),你能推导出λa的坐标吗 问题2:已知向量a=(-2,3),b=(1,-4),如何求a-b 平向量数乘运算的坐标表示 (1)符号表示:已知a=(x,y),则λa=λ(x,y)=(λx,λy). (2)文字描述:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 已知向量a=(3,4),b=(1,2),则3a-2b= . 已知向量a=(-1,2),b=(2,1),求: (1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b. 　平面向量共线的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根据共线向量定理,当a与b共线时,存在唯一实数λ,使a=λb. 问题1:根据向量数乘运算的坐标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗 问题2:已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),如何判断A,B,C三点之间的关系 平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0. (1)a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb. (2)如果用坐标表示,向量a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. 简记:纵横交错积相减. 一、向量共线的判定 下列各组向量中,共线的是( ). A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4) 【方法总结】向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断,特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时,要注意坐标之间的搭配. 已知A(1,-3),B8,,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是( ). A.(-9,1)　　　B.(9,-1) C.(9,1)　　　D.(-9,-1) 二、利用向量共线的坐标表示求参数 (1)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,则λ= . (2)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量与向量a=(λ,1)共线,则λ= . 【方法总结】利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解. 提醒:当两向量中存在零向量时,无法利用坐标表示求值. (1)已知非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,则实数m的值为( ). A.-1或 B.1或- C.-1 D. (2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k= . 　线段分点的坐标 问题1:设点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),如何求线段P1P2的中点P的坐标 问题2:设点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),P是线段P1P2的一个三等分点,则点P的坐标是什么 问题3:设点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),当=λ(λ≠-1)时,点P的坐标是什么 1.设不重合的两点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),当=λ(λ≠-1)时,点P的坐标是,. 2.若=λ(λ≠0),则 (1)当0<λ<1时,点P在线段P1P2上; (2)当λ=1时,点P与点P2重合; (3)当λ>1时,点P在线段P1P2的延长线上; (4)当λ<0时,点P在线段P1P2的反向延长线上. 已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,求点P的坐标. 【方法总结】求点的坐标时需注意的问题:(1)设P1(x1,y1),P2(x2,y2), ... ...