7.1 课时1 数系的扩充和复数的概念 【学习目标】 1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.(数学抽象) 2.理解复数的概念、表示及相关概念.(数学抽象) 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.(逻辑推理) 【自主预习】 1.什么叫复数 2.怎样表示一个复数 3.复数m+ni(m,n∈R)的实部是m,虚部是ni,对吗 4.复数z=a+bi(a,b∈R)可以是实数吗 需要满足什么条件 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. ( ) (2)复数i的实部不存在,虚部为0. ( ) (3)bi是纯虚数. ( ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等. ( ) 2.在2+,i,8+5i,(1-)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3 3.(多选题)下列说法正确的是( ). A.复数2+3i的虚部是3i B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 C.若a∈R,a≠-3,则(a+3)i是纯虚数 D.若两个复数能够比较大小,则它们都是实数 4.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y= . 【合作探究】 复数的概念 问题1:方程x2=1有解吗 解是什么 方程x2+1=0在实数范围内有解吗 问题2:若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗 问题3:添加i之后,i与原来的实数之间进行加法、乘法运算,会产生怎样的新数 问题4:复数集由哪些数组成 1.虚数单位i的引入 (1)i2=-1. (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加法、乘法满足的运算律仍然适用. 2.复数的概念 把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫作复数集.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R). 以后不作特殊说明时,复数z=a+bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫作复数z的实部与虚部. 对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,它叫作虚数;当a=0且b≠0时,它叫作纯虚数. 下列结论正确的是( ). A.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数 B.若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2 D.实数集是复数集的真子集 已知复数z=m2-m-2+(5m2-20)i(m∈R). (1)若z为实数,求m的值; (2)若z为纯虚数,求m的值. 【方法总结】1.复数的代数形式 (1)若z=a+bi,只有当a,b∈R时,才有a是z的实部,b是z的虚部,注意虚部不是bi. (2)不要混淆复数与虚数的概念,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. 2.复数的分类 (1)复数a+bi(a,b∈R) (2)集合表示 当实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是下列数 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 复数相等 问题1:由3>2能否推出3+i>2+i 两个实数能比较大小,那么两个复数能比较大小吗 问题2:若复数z=a+bi>0,则实数a,b满足什么条件 问题3:如何确定两个复数是否相等 复数相等的充要条件 在复数集C中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定:当且仅当 时,a+bi与c+di相等. 关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值. 【方法总结】复数相等问题的解题技巧 (1)复数必须是代数形式,然后才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解; (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现. 若(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为 . 已知关于x的方程x2+kx+2+(2x+k)i=0有实数根x0,求x0以及实数k的值. 【随堂检测】 1.复数(2+)i的实部是( ). A.2 B. C.2+ D.0 2.若复数z=ai2-bi(a,b∈R)是纯虚数,则一定有( ). A.b=0 B.a=0且b≠0 C.a=0或b=0 D.ab≠0 3.(多选题)下列说法正确的是( ). A.纯虚数的平方不小于0 B.i是一个无理数 C.1-ai(a∈R)是一个复数 D.复数a+i与b+3i(a,b∈R)不可能相等 4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0,i为虚数单位),则实数x= ,y= . 参考答案 7.1 复数的概念 课时1 数系的扩充和复数的概念 自主预习·悟新 ... ...
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