7.3 复数的三角表示 学案（2份打包）（含答案）

7.3 课时2 复数乘、除运算的三角表示及几何意义 【学习目标】 1.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(直观想象) 2.会进行复数三角形式的乘、除运算.(数学运算) 【自主预习】 1.复数的代数形式的加法和乘法运算的法则是什么 2.复数乘法能表示成三角形式吗 3.复数除法能表示成三角形式吗 4.你能解释i2=-1的几何意义吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个复数相乘,积的模等于两个复数的模的积,积的辐角等于两个复数的辐角的积. ( ) (2)两个复数相除(除数不为0),就是把模相除作为商的模,辐角相减作为商的辐角. ( ) (3)两个非零复数相乘(除),积(商)还是一个复数.( ) (4)若复数z1,z2对应的向量分别为,,辐角分别为θ1,θ2,当θ2>0时,把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2,旋转后向量对应的复数的辐角等于积z1z2的辐角. ( ) 2.4(cos 160°+isin 160°)÷[2(cos 10°+isin 10°)]=( ). A.+i B.-+i C.2+i D.-2+i 3.若z=cos 30°+isin 30°,则arg z2=( ). A.30° B.60° C.90° D.120° 4.复数z=cos +isin 是方程x5-a=0的一个根,那么a的值等于( ). A.+i B.+i C.-i D.--i 【合作探究】 　复数三角形式的乘法 设z=1-i在复平面内对应的向量为,将绕原点按逆时针方向旋转30°. 问题1:上述旋转所得向量对应的复数是什么 问题2:上述问题如何求解 将1-i化为三角函数能求解吗 问题3:若复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根据复数的乘法运算法则计算z1z2,并将结果表示成三角形式吗 设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)], 这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和. 几何意义:两个复数z1,z2相乘,可以在复平面内先分别画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,得到向量,表示的复数就是z1z2. 计算下列各式: (1)16cos+isin×4cos+isin; (2)3(cos 20°+isin 20°)[2(cos 50°+isin 50°)]×[10(cos 80°+isin 80°)]; (3)(-1+i) . 【方法总结】复数三角形式乘法运算的方法 (1)直接利用复数三角形式的乘法法则:模相乘,辐角相加. (2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需先将复数统一成代数形式或三角形式,然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘. 将复数1+i在复平面内对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是( ). A.2i　　　 B.i C.+i　　　 D.+i (cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)=( ). A.+i B.-i C.-+i D.--i 　复数三角形式的除法 我们知道复数除法是乘法的逆运算,除以一个数等于乘这个数的倒数,复数三角形式的除法如何由复数三角形式的乘法运算得到呢 问题:设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,z2≠0,类比复数三角形式的乘法,能得出吗 　　设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,z2≠0,则==[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]. 这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 几何意义:两个复数z1,z2相除,可以在复平面内先画出z1,z2对应的向量,,将向量按顺时针方向旋转角θ2(若θ2<0,则按逆时针方向旋转角|θ2|),再把模变为原来的,所得向量就表示商. 复数除法的实质是向量的旋转和伸缩. 计算(1+i)÷. 【方法总结】(1)商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角. (2)结果一般保留代数形式. (3)商的辐角的主 ... ...