8.6 课时3 直线与平面垂直的性质 【学习目标】 1.掌握空间中线面垂直的性质定理.(直观想象) 2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.(逻辑推理) 【自主预习】 1.在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB'所在的直线与平面ABCD的位置关系如何 2.垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗 3.在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.每排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直,这些电线杆之间的位置关系是什么 4.如果直线a∥直线b,直线a⊥平面α,那么直线b也垂直于平面α吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行. ( ) (2)垂直于同一条直线的两条直线互相平行. ( ) (3)平行于同一个平面的两条直线互相平行. ( ) (4)垂直于同一个平面的两条直线互相平行. ( ) 2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为( ). A.1 B. C.2 D.2 3.如图所示,正四面体A-BCD的棱长为1,则点A到平面BCD的距离为 . 第3题图 第4题图 4.如图,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF= . 【合作探究】 直线与平面垂直的性质 世界上的高楼大厦太多了,如上海中心大厦,如图所示. 问题1:上海中心大厦外墙的每列玻璃所在的直线与地面有何位置关系 问题2:每列玻璃所在的直线是什么位置关系 问题3:过一点有几条直线与已知平面垂直 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 符号语言 图形语言 作用 ①线面垂直 线线平行; ②作平行线 特别提醒:(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法;(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的点,N是A1C上的点,且MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1. 【方法总结】证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行定义:证明共面且无公共点. (2)利用三条直线平行的基本事实:证明两条直线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理:把证明线线平行转化为证明线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理:把证明线线平行转化为证明线面垂直. 如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:EF∥BD. 点、线、面到面的距离问题 如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,AB=2,AA1=2,点B1在底面ABCD上的射影为BC的中点H. 问题1:点B1到平面ABCD的距离是多少 问题2:点C1到平面ABCD的距离是多少 线面距离、平行平面间的距离 (1)一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离,叫作这条直线到这个平面的距离. (2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离 ,我们把它叫作这两个平行平面间的距离. 如图1,已知在边长为2的菱形ABCD中,∠DAB=60°,沿对角线BD将其翻折,使∠ABC=90°,设此时AC的中点为O,如图2. (1)求证:点O是点D在平面ABC上的射影. (2)求点A到平面BCD的距离. 【方法总结】从平面外一点作一个平面的垂线,这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.当该点到已知平面的垂线不易作出时,可利用线面平行、面面平行的性质进行转化,比如从与已知平面等距离的点作垂线,然后计算,也可以利用等体积法转换求解. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中点,AC⊥BC,AC=BC,AB=AA1=4. (1)证明:AC1⊥平面BCD. (2)求点D到平面ABC1的距离. 直线与平面垂直关系的综合应用 如图,已知△ABC为直角三角形,AB为斜边,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足. (1)求证:EF⊥PB. (2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l. 【方法总结】线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,以此分析题设,观察图形,找到解题突 ... ...
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