2.7 正方形 分层练习（含答案）2024-2025学年数学湘教版八年级下册

2.7　正方形 @基础分点练 　知识点1　正方形的性质 1.正方形是轴对称图形，它的对称轴有（　B　） A.2条 B.4条 C.6条 D.无数条 2.正方形具有而矩形不一定具有的特征是（　C　） A.对角相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对边相等 3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　C　） A.4个 B.6个C.8个 D.10个 第3题图 4.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为　3　. 第4题图\ 5.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝5，BF＝3，则EF的长为　8　. 6.如图，四边形ABCD是正方形，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，BE，CE，DE. 求证：△ABE≌△DCE. 证明：根据题意，得 BE＝BC＝CE. 则△BCE是等边三角形. 故∠EBC＝∠ECB＝60°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC. ∴∠ABE＝∠DCE＝30°. 在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE（SAS）. 　知识点2　正方形的判定 7.下列条件可以利用定义说明平行四边形ABCD是正方形的是（　B　） A.AB＝CD，∠A＝90° B.AB＝AD，∠A＝90° C.AB∥CD，∠A＝90° D.以上均错 8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加的一个条件　AB＝BC（答案不唯一）　，使得矩形ABCD成为正方形. 9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形CEDF是正方形. 证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°. 又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形. ∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形. @中档提分训练 10.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c.则正确的是（　C　） A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 第10题图 11.如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，点T为AF的中点，则CT的长是（　D　） 第11题图 A. 　　B.4 　　C. 　　D. 12.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点.延长DE到点F，使DE＝EF，得到四边形ADCF.当∠ACB＝　90　°时，四边形ADCF是正方形. 第12题图 13.【数学文化】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为　2　dm2. 第13题图 14.如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点D，B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD，AB，CD，CB，∠ADO＝45°. （1）求证：四边形ABCD是正方形； 证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF. ∵DE＝BF，∴BO＝DO. 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°. ∴AO＝DO.∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是正方形. （2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，则菱形AECF的面积为　24　. @拓展素养训练 15.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF. （1）求证：FH＝ED； 解：（1）证明：∵四边形CEFG是正方形， ∴CE＝EF. ∵∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∠DCE＋∠CED＝90°， ∴∠FEH＝∠DCE. 又∵∠FHE＝∠D＝90°， ∴△FEH≌△ECD（AAS）. ∴FH＝ED. （2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数. 解：（2）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5， ∴CD＝AB＝3. ∵AE＝1，∴DE＝4. ∵△FEH≌△ECD， ∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3. ∴AH＝4.∴AH＝FH. ∵∠FHE＝90°，∴∠FAD＝45°.2.7　正方形 @ ... ...