2．4 圆与圆的位置关系 [学习目标] 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 一、两圆位置关系的判断 知识梳理 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 ____个 ____个 ____个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d_____r1＋r2 外切 d_____r1＋r2 相交 |r1－r2|< d0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 反思感悟 判断两圆的位置关系的三种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． (3)根据公切线的条数有时也可判断两圆的位置关系． 跟踪训练1 (1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a(a>0)恰有三条公切线，则实数a的值是( ) A．4 B．6 C．16 D．36 (2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有_____条． 二、利用两圆的位置关系求圆的方程 例2 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 延伸探究 将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”． 反思感悟 通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题． 跟踪训练2 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程． 三、相交弦及圆系方程问题 例3 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 反思感悟 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆方程相减得公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 跟踪训练3 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为_____． 1．知识清单： (1)两圆的位置关系． (2)两圆的公共弦． (3)圆系方程． 2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混． 1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( ) A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 2．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( ) A．2 B．－5 C．－2 D．5 3．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是_____． 4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝_____. 2 ... ...
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