1.2 空间两点间的距离公式 [学习目标] 1.了解推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离． 一、空间两点间的距离公式 问题1 在空间直角坐标系中，点O(0,0,0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求？ 问题2 空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求？ 知识梳理 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝_____. 例1 如图，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求MN的长． 反思感悟 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键． (2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算． 跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． 二、求空间点的坐标 例2 设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标． 反思感悟 由空间两点间距离求点的坐标的方法 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标． (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解． 跟踪训练2 已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点的距离相等，求A，B，C的坐标． 三、空间两点间距离公式的综合应用 例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，|DP|＝a，当a为何值时，NP的长最小？ 反思感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值． 跟踪训练3 在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)， (1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB| (2)在y轴上是否存在点N，使△NAB为等边三角形？若存在，试求出点N的坐标． 1．知识清单： (1)空间两点间的距离公式． (2)利用两点间距离公式求空间点的坐标． (3)距离中的最值问题． 2．方法归纳：函数法求最值． 3．常见误区：由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误． 1．点P(1，，)到原点O的距离是( ) A．6 B. C．4 D. 2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( ) A．－2 B．6 C．－2或6 D．4 3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，则A′C的中点E与AB的中点F的距离为_____． 4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为_____． 1．2 空间两点间的距离公式 问题1 如图， |OP|＝， |OA|＝|x0|，|OB|＝|y0|， |OC|＝|z0|， 则|OP|＝. 问题2 如图，作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴， 由已知得， C(x2，y1，z1)， D(x2，y2，z1)， |AB|＝， |AC|＝|x1－x2|，|CD|＝|y1－y2|， |DB|＝|z1－z2|， 则|AB|＝. 知识梳理 例1 解 建立如图所示的空间直角坐标系， 过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF， 显然MF垂直于平面ABCD， 所以MF⊥NF， 因为|BM|＝2|MC′|， 所以|BF|＝2|FC|， 又|AN|＝2|CN|， 所以NF∥AB， 所以|NF|＝|FC|＝|AB|＝， 同理|MF|＝|CC′|＝， 因此，点N的坐标为， 点M的坐标为， 于是|MN|＝＝. 跟踪训练1 解 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴ ... ...
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