一、空间向量的概念及运算 1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基表示和坐标表示是向量运算的基础． 2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力． 例1 (1)(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是( ) A.＋＋＋＝0 B.＋－－＝0 C.－＋－＝0 D.·＝· (2)已知空间向量a＝(2,4，－2)，b＝(－1,0,2)，c＝(x,2，－1)．若b⊥c，则cos〈a，c〉＝_____. 反思感悟 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 跟踪训练1 (1)在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足||＝||，则P点坐标为( ) A．(3,0,0) B．(0,3,0) C．(0,0,3) D．(0,0，－3) (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. ①求的长； ②求与夹角的余弦值． 二、利用空间向量证明位置关系 1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． 2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 例2 在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． 反思感悟 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基或建立空间直角坐标系转化为坐标运算，再借助向量的有关性质求解(证)． 跟踪训练2 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：平面PQB⊥平面DCQ； (2)证明：PC∥平面BAQ. 三、利用空间向量求空间角 1．空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线的夹角为θ：cos θ＝|cos〈u，ν〉|＝(其中u，v分别是两异面直线的方向向量)． (2)直线与平面的夹角为θ：sin θ＝|cos〈u，n〉|＝(其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量)． (3)两个平面的夹角为θ：cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝(其中n1，n2分别是两平面的法向量)． 2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线AF和BE的夹角； (2)求直线AF和平面BEC夹角的正弦值． 反思感悟 (1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标． (2)直线和平面的夹角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为两条直线的夹角、利用平面的法向量． 跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：GF∥平面ADE； (2)求平面AEF与平面BEC夹角的余弦值． 四、利用空间向量计算距 ... ...
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