习题课　二项式定理的综合应用（课件+学案+练习，共3份） 北师大版（2019）选择性必修 第一册 第五章

习题课　二项式定理的综合应用 [学习目标]　1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 一、两个多项式乘积的特定项 例1　(1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为(　　) A．10 B．－10 C．2 D．－2 (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 反思感悟　求多项式积的特定项的方法———�双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况． 跟踪训练1　(1)(1＋2x2)(1＋x)4展开式中x3的系数为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 (2)(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7的系数为_____．(用数字作答) 二、系数的最值问题 例2　已知n展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项． 反思感悟　求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k的范围来确定k的值，即可求出最大项． 跟踪训练2　求10的展开式中系数最大的项． 三、整除和余数问题 例3　(1)试求2 02410除以5的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除． 反思感悟　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 跟踪训练3　求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除． 1．知识清单： (1)两个多项式乘积的特定项． (2)系数的最值问题． (3)整除与余数问题． 2．方法归纳： 双通法． 3．常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析． 1．(x2＋2)6展开式中的常数项为(　　) A．25 B．－25 C．5 D．－5 2．(1－2x)5的展开式中系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 3．(x＋1)4(x－1)展开式中x3的系数是_____． 4．230－3除以7的余数为_____． 习题课　二项式定理的综合应用 例1　(1)C　[(1＋2x)3(1－x)4展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x)0·C·(－x)1＋C·(2x)1·C·(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2.] (2)D 跟踪训练1　(1)A　(2)－20 例2　解　由已知得C＋C＋C＝79， 即n2＋n－156＝0. 解得n＝－13(舍去)或n＝12. 设Tk＋1项的系数最大， ∵12＝12(1＋4x)12， 由 解得9.4≤k≤10.4. 又∵1≤k≤11，k∈N，∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T11＝12·C·410·x10 ＝16 896x10. 跟踪训练2　解　设Tk＋1项的系数最大， 则 即 解得≤k≤. ∵1≤k≤9，k∈N，∴k＝7， ∴展开式中系数最大的项为 例3　(1)解　2 02410＝(404×5＋4)10. ∵其展开式中除末项为410外，其余的各项均含有5这个因数， ∴2 02410除以5的余数与410除以5的余数相同． 又∵410＝(5－1)10， 其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有5这个因数， ∴410除以5的余数为1，即2 02410除以5的余数也为1. (2)证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 跟踪训练3　证明　原式＝4·6n＋5n－4＝4(5＋1)n＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C)＋ ... ...