习题课 离散型随机变量及其分布列 [学习目标] 1.掌握离散型随机变量的分布列.2.掌握离散型随机变量的均值与方差的概念.3.能区分二项分布、超几何分布． 一、二项分布与超几何分布的区别 例1 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图． (1)根据频率分布直方图，求抽取的40件产品中重量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 反思感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算． 跟踪训练1 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值； (2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差． 二、与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差 例2 某学生需依次进行体能和外语两个项目的考核，每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的考核(即淘汰)．若该学生体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响，该生不放弃每一次考核的机会．用X表示其参加补考的次数，求随机变量X的均值与方差． 反思感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率． 跟踪训练2 某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为，B，C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的． 该公司所在地区汽车限行规定如下： 汽车车牌尾号 车辆限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9 星期五 (1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率； (2)设X表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求X的分布列和均值． 三、与统计有关的分布列的均值 例3 第33届夏季奥运会将于2024年在法国巴黎举办，为了普及奥运知识，某校组织全体学生进行了奥运知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生，得到他们的分数统计如下： 分数段 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 1 2 2 8 3 3 1 我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀． (1)从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？ (2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀的人数，求X的分布列与均值． 反思感悟 求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解，或借助题设条件运用频率分布直方图和分布列求解． 跟踪训练3 为了解游客对 “十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄(单位：岁)在[22,52]内的游客中随机抽取了1 000人，并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图所示，同时对这1 000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表： 分组 满意的人数 占本组的频率 [22,27) 30 0.6 [27,32) n 0.95 [32,37) 120 0.8 [37,42) 432 m [42,47) 144 0.96 [47,52] 96 0.96 (1)求统计表中m和n的值； (2)从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47,52]内的人数为X，求X的分布列和均值． 1．知识清 ... ...
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