5.2.3 简单复合函数的导数 教案

《简单复合函数的导数》教学设计 内容与内容解析 内容：复合函数的概念，简单复合函数的求导法则 内容解析： 引入简单复合函数求导法则的必要性：之前所学的简单基本函数求导法则无法满足学习需要，无法通过之前所学解决复合函数求导问题，因此，探寻解决方法，同时，在之前的认知基础上进行进一步深入 复合函数的概念：一般地，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和 的重合函数(composite function)， 记作 ，它可以由几个基本初等函数复合而成，与基本初等函数紧密联系起来。 教学重点：简单复合函数的求导法则； 目标与目标解析 目标： 理解复合函数的概念； 掌握简单复合函数的求导法则； 会用简单复合函数的求导法则求复合函数导数 目标解析： 达成上述目标的标志分别是： 能够判断出构成复合函数的几个基本初等函数； 能够运用简单复合函数的求导法则解决问题； 会用简单复合函数的求导法则求复合函数导数 教学问题诊断解析 问题诊断 让学生体会简单复合函数的求导法则的必要性，之前所学的基本初等函数的求导已经不能够满足学习需要，因此找到探究复合函数导数的方法 教学难点： （1）复合函数的分解，求复合函数导数 （2）利用简单复合函数求导法则解决实际问题 教学过程设计 （一）复习引入 我们之前已经学习了基本初等函数的导数和导数的四则运算法则，我们先来回顾一下： 1.基本初等函数的导数： 若 若; 若 特别地，若; 若; 特别地，若. 2.导数的四则运算法则； 1. 2. 3. 【设计意图】引导学生回顾基本初等函数的导数，为本节课作铺垫 （二）生成概念 有了以上基础后，我们来思考这样一个问题： 思考：如何求函数的导数？ 我们可以发现：这个函数它与我们之前所学过的函数不同，它不能用定义求出极限，也不能够由基本初等函数通过加减乘除，因此我们就要来找寻解决该问题的方法，思考一下是否能够把它转化成我们熟悉的问题来求解。我们先来分析一下这个函数，在这个函数中，我们可以找到“熟悉的身影”，比如括号内的“”，它是一个基本初等函数，我们现在将其看作一个整体，记作，即，此时，我们就可以将整个函数看作是,我们把可以这样用中间变量表示的函数称为函数和的复合函数，记作。那么，函数就可以看作是由基本初等函数，和基本初等函数复合而成的复合函数。 【设计意图】引导学生发现复合函数与基本初等函数的联系，让学生主题发现问题，找到解决方法 那么如何去求复合函数的导数就是我们所要探究的问题：现在我们给定一个复合函数：，根据定义，，因为，，由此推得，，所以，，根据导数定义（展示导数定义），我们可以发现如果给这个分式配一个分母，有，那么，=，又因为时，，所以=f’(u)g’(x) 这样，我们就得到了简单复合函数的求导法则： 【师生活动：教师引导学生推导复合函数求导法则】 【设计意图】让学生体会简单复合函数的求导法则的推导过程，经历主动探索的过程 （三）课堂巩固 例1：求函数的导数 这样，我们可以得到求函数导数的方法，因为函数可以看作是由基本初等函数，和基本初等函数复合而成的复合函数，所以， ，这个式子可否作为结果？只是我们所设的中间量，函数对进行求导，因此，我们应当将代回， 练习1：1、（2021·全国·高二课时练习）将下列复合函数分解成基本初等函数并求其导数： ① ② ③； ④ ⑤ ⑥． 【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解． （1）解：，； （2）解：因为，所以 （3）解：因为，所以 （4）解：因为，所以 （5）解：因为，所以 （6）解：因为，所以 【学生活动】：总结求复合函数的一般步骤： 观察复合函数，判断构成复合函数的几个基本初等函数； 利用中间变 ... ...