7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　7.1　7.1.1 数系的扩充和复数的概念 A级———基础过关练 1．(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法错误的有(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 2．已知a为实数，若复数z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数，则复数z的虚部为(　　) A．3　　 B．6i　　 C．±3　　 D．6 3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R，i为虚数单位)，则2xy的值为(　　) A． B．2 C．0 D．1 4．复数a＋1＋(a－1)i是实数，其中i为虚数单位，则实数a等于(　　) A．－1　　 B．1　　 C．0　　 D．2 5．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝(　　) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　) A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b C．a＞0且a≠b D．a≤0 7．(2024年天津河西区模拟)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则a＋b＝_____． 8．(2024年四平期中)已知复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋3m－10)i是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为_____． 9．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的_____条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． B级———综合运用练 11．(多选)(2024年南京鼓楼区期中)已知复数z＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为(　　) A． B． C．π D． 12．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，那么x＝_____，y＝_____． 13．(2024年新乡凤泉区月考)(1)复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i是纯虚数，求m的值； (2)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并提出以下公式eix＝cos x＋isin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，求eiπ＋1的值． C级———创新拓展练 14．(2024年武汉月考)已知复数z1＝3－m2＋(m－)i，z2＝μ＋sin θ＋(cos θ－)i，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R． (1)若z1为纯虚数，求m的值； (2)若z1＝z2，求μ的取值范围． 参考答案 【A级———基础过关练】 1.【答案】ABD 【解析】对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1．故选ABD． 2.【答案】D 【解析】∵z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数， ∴解得a＝3．∴z＝6i，则复数z的虚部为6．故选D． 3.【答案】A 【解析】由复数相等的充要条件知，解得∴xy＝－1． ∴2xy＝2－1＝． 4.【答案】B 【解析】∵复数a＋1＋(a－1)i是实数，∴a－1＝0，解得a＝1．故选B． 5.【答案】B 【解析】由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，n∈R，即解得∴z＝3－i． 6.【答案】D 【解析】复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0．故选D． 7.【答案】2 【解析】a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，所以a＝－1，b＝3，故a＋b＝2． 8.【答案】1 【解析】由已知可得解得m＝1． 9.【答案】充分不必要 【解析】当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件． 10.解：(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3． (2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3． (3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2． 【B级———能力提升练】 11.【答案】ACD 【解析】因为复数z＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，所以cos ... ...