3.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 ［学习目标］ 1.掌握基本不等式及推导过程.2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值. 一、基本不等式的证明与理解 问题1 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，我们能得出什么样的结论呢？ 问题2 现在我们讨论一种特别的情况，如果a≥0，b≥0，我们取x=，y=，代入上述不等式，能得到什么样的结论？ 问题3 上述不等式是否对所有的a≥0，b≥0都能成立？请给出证明. 知识梳理 1.如果a≥0，b≥0， ，当且仅当 时，等号成立.这个不等式称为基本不等式，其中称为a，b的算术平均值，称为a，b的 .因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值 它们的几何平均值. 2.变形：ab≤ ≤，a，b∈R，当且仅当a=b时，等号成立. a+b≥ ，a≥0，b≥0，当且仅当a=b时，等号成立. 例1 （多选）若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，不成立的是 （ ） A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 反思感悟 基本不等式及变形形式使用的条件 （1）a2+b2≥2ab，其中a，b∈R. （2）≥，其中a≥0，b≥0. （3）ab≤，其中a，b∈R. 跟踪训练1 不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为 . 二、用基本不等式证明不等式 例2 已知a，b，c都是正实数，求证：（a+b）（b+c）（c+a）≥8abc. 反思感悟 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到. 跟踪训练2 已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，证明：++≥9. 三、利用基本不等式求简单式子的最值 例3 已知x>0，求x+的最小值. 延伸探究 将条件“x>0”改成“x<0”，求x+的最大值. 反思感悟 利用基本不等式求最值的注意点 （1）一正：各项必须为正. （2）二定：各项之和或各项之积为定值. （3）三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 跟踪训练3 （1）已知x>0，y>0，则+的最小值为 （ ） A.15 B.12 C.8 D.6 （2）若0
0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0 2.下列不等式正确的是 （ ） A.a+≥2 B.（-a）+≤-2 C.a2+≥2 D.（-a）2+≤-2 3.已知x>0，则+x的最小值为 （ ） A.6 B.5 C.4 D.3 4.已知a，b是不相等的正数，x=，y=，则x，y的大小关系是 （ ） A.x>y B.y>x C.x>y D.y>x 答案精析 问题1 正方形的边长AB=，故正方形的面积为x2+y2，而四个直角三角形面积的和为2xy，故有x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时，等号成立.即≥xy，当且仅当x=y时等号成立. 问题2 用，分别替换上式中的x，y可得到≥，当且仅当a=b时，等号成立. 问题3 方法一 （作差法） -= = =≥0，即≥，当且仅当a=b时，等号成立. 方法二 （性质法） 要证≤， 只需证2≤a+b， 只需证2-a-b≤0， 只需证-（-）2≤0， 显然（-）2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三 （利用几何意义证明） 如图，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD，OD，BD，显然OD=OA=；利用三角形相似可证得△ACD∽△DCB，故CD=，又OD≥CD，故用不等式表示为≥，由此也 ... ... 