第一章 培优课 不等式恒成立、能成立问题（课件+学案+练习，共3份） 北师大版（2019）必修 第一册

培优课　不等式恒成立、能成立问题 ［学习目标］　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题. 一、在R上的恒成立问题 例1　已知不等式kx2+2kx-（k+2）<0在R上恒成立，求实数k的取值范围. 反思感悟　（1）如图①，一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集为R 一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象恒在x轴上方 ymin>0 图①　　　　　　图② （2）如图②，一元二次不等式ax2+bx+c<0（a≠0）在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c<0（a≠0）的解集为R 一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象恒在x轴下方 ymax<0 （3）若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 跟踪训练1　已知关于x的不等式kx2-3kx+2k+1≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 （　　） A.｛k|0≤k≤4｝ B.｛k|0≤k≤3｝ C.｛k|k≤0或k≥3｝ D.｛k|k≤0或k≥4｝ 二、在给定区间上的恒成立问题 例2　（1）当1≤x≤2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求实数m的取值范围. （2）若不等式mx2-mx-6+m<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，求实数x的取值范围. 反思感悟　对于含参数的不等式在某一区间上恒成立问题，求解时主要有两种方法 （1）分离参数法，可转化为m>ymax或m0时，ax2+bx+c<0在x∈［α，β］上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. ②当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈［α，β］上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. （3）已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变量和参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围求解. 跟踪训练2　若对任意的-3≤x≤-1都有ax2-x-3<0成立，则实数a的取值范围是　　　. 三、简单的能成立问题 例3　已知当10有解，则实数m的取值范围为　　　　　. 反思感悟　含参数的不等式在某一区间上能成立问题，求解时主要有两种方法 （1）分离参数法，可转化为m>ymin或m0恒成立，则实数a的取值范围是 （　　） A.a≥1 B.a>1 C.a≤1 D.a<1 3.定义运算=ad-bc，若不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 4.若命题“ x∈R，x2-2mx+m+2<0”为真命题，则实数m的取值范围是 　. 答案精析 例1　解　当k=0时，原不等式化为-2<0，显然符合题意； 当k≠0时， 令y=kx2+2kx-（k+2）， ∵y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点. ∴ 解得-1