1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 【学习目标】 1.掌握正弦函数、余弦函数的性质.(逻辑推理) 2.掌握正弦函数值和余弦函数值的符号.(直观想象) 3.掌握周期性的应用.(数学运用) 【自主预习】 　　江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然.在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢 阅读教材，回答下列问题： 1.正弦函数、余弦函数的定义域是什么 2.正弦函数、余弦函数的值域是什么，它们的值域相同吗 3.正弦函数、余弦函数的周期是多少 最小正周期是什么 4.余弦函数在第一、二、三、四象限的符号是什么 1.sin(-315°)的值是(　　). A.- B.- C. D. 2.若sin θcos θ>0，则角θ的终边在(　　). A.第一或第四象限 B.第一或第三象限 C.第一或第二象限 D.第二或第四象限 3.函数y=-4sin x的值域是　　　　. 4.(改编)求函数y=sin x，x∈[-π，π]的单调递增区间. 【合作探究】 　正弦函数、余弦函数的性质 　　学习了三角函数的定义后，杨洋把单位圆上的点P旋转一周，发现了点P的坐标的范围，点P的坐标具有周期性变化. 问题1：你能说出x，y的取值范围吗 问题2：根据三角函数的定义，能确定sin α，cos α的取值范围吗 问题3：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少 正弦函数和余弦函数的性质： y=sin α y=cos α 定义域 值域 [-1，1] 最值 最大值为1，最小值为-1 单调性 增区间：2kπ-，2kπ+(k∈Z). 减区间：2kπ+，2kπ+(k∈Z) 增区间：[2kπ-π，2kπ](k∈Z). 减区间：[2kπ，2kπ+π](k∈Z) 求下列函数的单调区间、最大值、最小值以及取得最大值、最小值时的自变量α的值. (1)y=sin α，α∈-，π； (2)y=cos α，α∈-π，. 【方法总结】　　利用单位圆研究三角函数性质的方法：第一步，在单位圆中画出角α的取值范围；第二步，作出角α的终边与单位圆的交点P(cos α，sin α)；第三步，研究点P的横坐标及纵坐标随α的变化而变化的规律；第四步，得出结论. 求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量α的值. (1)y=-sin α，α∈，π；(2)y=cos α，α∈[-π，π]. 　周期性 　　清晨，太阳从东方升起；傍晚，太阳从西方落下.24小时，太阳东升西落，这种周而复始的现象叫周期现象.周期现象在生活中随处可见，如：阴晴圆缺、四季轮回、潮起潮落…… 问题1：终边相同的角的正弦、余弦函数值相等吗 为什么 问题2：由sin(α+k·2π)=sin α(k∈Z)可知，函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗 1.终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系 (1)终边相同的角的正弦函数值相等，即k∈Z，sin(α+k·2π)=sin α(α∈R). (2)终边相同的角的余弦函数值相等，即k∈Z，cos(α+k·2π)=cos α(α∈R). 2.周期函数 正弦函数、余弦函数均是周期函数，称2kπ(k∈Z，且k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，最小正周期是2π. (1)若角α的终边经过点P(sin 780°，cos(-330°))，则sin α=(　　). A. B. C. D.1 (2) 计算下列各式的值： ①cos+sin-； ②sin 780°cos 450°. 【方法总结】利用公式sin(x+2kπ)=sin x，cos(x+2kπ)=cos x，k∈Z，可以把任意角的正弦函数值、余弦函数值问题转化为0~2π间的角的正弦函数值、余弦函数值问题.一般步骤： (1)把角β写成β=2kπ+α(k∈Z)形式； (2)求出角α的正弦函数值或余弦函数值； (3)得到角2kπ+α(k∈Z)的正弦函数值或余弦函数值. 计算log2(4sin 1 110°)的结果是(　　). A.-1 B.0 C.1 D.2 　正弦函数值和余弦函数值的符号 　　单位圆上的点P(u，v)的纵、横坐标对应着正弦值、余弦值，v和u的符号对应着正弦值和余弦值的符号. 问题1：你能说出u，v的符号吗 问题2：根据问题1的分析 ... ...