2.2.1 向量的加法 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.2.1 向量的加法 【学习目标】 1.理解并掌握向量加法的概念.(数学抽象) 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.(数学运算) 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.(直观想象) 【自主预习】 1.使用向量加法的三角形法则具体做法是什么 2.(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立吗 3.当向量a与b共线时，a+b=b+a仍然成立吗 4.|a+b|与|a|和|b|之间的大小关系如何 5.向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a+0=a. (　　) (2)|a+b|=|a|+|b|. (　　) (3)a+b=b+a. (　　) (4)=++. (　　) 2.化简：++=(　　). A. B. C. D. 3.在四边形ABCD中，=+，则(　　). A.四边形ABCD一定是矩形 B.四边形ABCD一定是菱形 C.四边形ABCD一定是正方形 D.四边形ABCD一定是平行四边形 4.已知向量a表示“向东航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，则a+b表示　　　　. 【合作探究】 　向量的加法及几何意义 如图，某质点从点A经过点B到点C. 问题1：上述这个质点的位移可以怎么表示 问题2：两个向量相加就是两个向量的模相加吗 1.向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段=a，=b，以有向线段和为邻边作 ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的 法则. 秘诀：起点相同，过起点的对角线为和. 2.向量加法的三角形法则 已知非零向量a和b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段=a，以有向线段的终点为起点，作有向线段=b，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a+b，即a+b=+=.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则. 秘诀：首尾相连首尾连. 3.向量求和的多边形法则 (1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则，即+++…++=. (2)首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0. 4.对于零向量与任一向量a，规定：0+a=a+0=a. 特别提醒：(1)利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则时，要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量. (2)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的. (3)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半. (1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a+b； (2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a+b. 【方法总结】应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量； (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合； (3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单. 如图所示，已知向量a，b，c不共线，作向量a+b+c. 　向量模的三角形法则 如图所示. 问题1：求作向量a+b. 问题2：根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，结合问题1，你能发现|a+b|，|a|，|b|之间的关系吗 一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b方向相同时，等号成立. 若||=8，||=5，则||的取值范围是(　　). A.[3，8] B.(3，8) C.[3，13] D.(3，13) 【方法总结】向量|a+b|，|a|，|b|之间的关系 当a和b反向或不共线时，|a+b|<|a|+|b|；当a和b同向时，|a+b|=|a|+|b|.所以|a+b|≤|a|+|b|. 若|a|=|b|=1，则|a+b|的最大值为　　　　. 　向量 ... ...