2.3.1 向量的数乘运算 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.3.1 向量的数乘运算 【学习目标】 1.掌握向量数乘的定义并理解其几何意义.(直观想象) 2.理解向量数乘的运算律.(数学抽象) 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.(直观想象、逻辑推理) 【自主预习】 　　夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍. 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 1.若设光速为v1，声速为v2，则v1与v2有何关系 2.实数与向量相乘结果是实数还是向量 3.向量数乘运算满足结合律、分配律吗 1.下列运算正确的个数是(　　). ①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0. A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若=a，=b，则=(　　). A.(a-b) B.-(a-b) C.(a+b) D.-(a+b) 3.4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　. 【合作探究】 　数乘运算的定义 一物体做匀速直线运动，1秒钟的位移对应的向量为a，在同一方向上前进3秒钟的位移对应的向量是3a吗 在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少 问题1：物体的位移是多少 问题2：向量3a，-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系 问题3：λa的几何意义是什么 向量数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个 ，记作 ，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向 ； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向 ； 当λ=0时，0a=0. (2)|λa|= . 这种运算称为向量的数乘. 已知点C在线段AB上，且=，则等于(　　). A. B.　 C.- D.- 【方法总结】(1)在数乘向量λa中，实数λ称为向量a的系数. (2)实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数积的定义的推广，但不能进行加减运算，如λ+a，λ-a均无意义. (3)数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题. 已知λ∈R，则下列结论正确的是(　　). A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a C.|λa|=|λ||a| D.非零向量λa方向上的单位向量是a 　数乘运算的运算律 已知向量a，有以下三个结论： (1)3(2a)=6a； (2)(2+3)a=2a+3a； (3)2(a+b)=2a+2b. 问题：请通过作图判断以上结论是否成立. 1.向量数乘的运算律：设λ，μ为实数，a，b为向量，则 (1)(λ+μ)a= ； (2)λ(μa)= ； (3)λ(a+b)= . 特别地，有(-λ)a= = ， λ(a-b)= . 2.线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)= . 一、向量的线性运算 化简6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b). 【方法总结】向量线性运算的基本方法是类比法.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. 二、解向量方程 已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x-2y=a，-4x+3y=b，求向量x，y. 【方法总结】向量方程类比代数方程，可利用解代数方程的方法求解.在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 化简： (1)(3a+2b)-a+b-2a+b； (2)(4a-3b)+b-(6a-7b). 若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0，则x=　　　　. 【随堂检测】 1.(a+2b)+2(a-b)=(　　). A.2a B.3a C.-b D.0 2.在四边形ABCD中，=2，则=(　　). A.-++ B.-++ C.++ D.++ 3.若M是△ABC所在平面内的一点，满足=+，则=(　　). A. B.4 C. D.3 4.如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a，b，c表示，. 参考答案 §3　从速度的倍数到向量的数乘 课时1　向量的数乘运算 自主预习·悟新知 预学忆思 1.v1=880 000 v2. 2.是向量. 3.满足. 自学检测 1.C　【解析】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；因为(a+ ... ...