2.6.5 平面向量在几何中的应用举例 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.5 平面向量在几何中的应用举例 【学习目标】 1.会用向量法解决简单的平面几何问题，体会向量在数学问题中的作用.(数学抽象) 2.掌握用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法和步骤.(逻辑推理) 3.学会选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题.(直观想象) 【自主预习】 1.如何用向量的方法判断两条直线平行或垂直 2.如何用向量的方法求两条直线的夹角 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若B是线段AC的中点，则有+=2. (　　) (2)若∥，则直线AB与CD平行. (　　) (3)若∥，则A，B，C三点共线. (　　) (4)若△ABC为直角三角形，则有·=0. (　　) 2.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　). A.2 B. C.3 D. 3.在△ABC中，若(+)·(-)=0，则△ABC(　　). A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 4.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0，0)，B(1，1)，则·=　　　　. 【合作探究】 　平面向量在几何中的应用 如图所示，某水渠横断面是四边形ABCD，=，且||=||. 问题1：如何判断这个四边形的形状 问题2：对于结论“若a=b，则|a|=|b|，且a，b所在直线平行或重合”，你有什么体会 问题3：把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中，你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗 用向量法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题. (2)通过 运算，研究几何元素之间的关系，解决距离、夹角等问题. (3)把 “翻译”成几何关系. 已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC=2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积. 【方法总结】用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的一组基(基中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算问题. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长. 　用向量法证明几何问题 如图所示，P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，且AB∥CD. (1)试用向量证明：PQ∥AB. (2)若AB=3CD，求PQ∶AB的值. 【方法总结】利用向量法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量法解决平面几何问题时，有两种思路：一种是选择一组基，利用基向量表示涉及的向量；另一种是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明. 已知四边形ABCD为正方形，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P，连接AP.用向量法证明： (1)BE⊥CF； (2)AP=AB. 【随堂检测】 1.已知平面内四边形ABCD和点O，若=a，=b，=c，=d，且a+c=b+d，则四边形ABCD为(　　). A.菱形 B.梯形 C.矩形 D.平行四边形 2.已知在△ABC中，=a，=b，且a·b<0，则△ABC(　　). A.为钝角三角形 B.为直角三角形 C.为锐角三角形 D.形状不能确定 3.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，则·的值是　　　　. 4.已知△ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.求证：AD⊥CE. 参考答案 课时5　平面向量在几何中的应用举例 自主预习·悟新知 预学忆思 1.两条直线的方向向量共线时，两条直线平行或重合；两条直线的方向向量垂直时，两条直线垂直. 2.求两条直线的方向向量所成的角. 自学检测 1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.B　【解析】由题意得BC的中点为D，6，=-，5，所以||=. 3.C　【解析】(+)·(-)=-=0，即||=||，∴CA=CB，则 ... ...