7.3 离散型随机变量的数字特征 课时1 离散型随机变量的均值 【学习目标】 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.(数学抽象) 2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(逻辑推理、数学运算) 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.(数学抽象、数学运算) 【自主预习】 1.随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量 2.随着样本容量的增加,样本的平均值与总体的平均值有什么关系 3.对于n个数x1,x2,…,xn,称=(x1+x2+…+xn)为这n个数的平均数,如何从随机变量的角度看这个问题 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)随机变量的均值反映了样本的平均水平. ( ) (2)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4. ( ) (3)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=P(X=1). ( ) 2.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)=( ). A. B.2 C. D.3 3.若随机变量Y=aX+3,且E(Y)=,E(X)=-,则a= . 4.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取1节电池检验,直到取到好电池为止. 求:(1)抽取次数X的分布列; (2)平均抽取多少次可取到好电池. 【合作探究】 离散型随机变量的均值 某商场要将单价分别为18元/千克,24元/千克,36元/千克的3种糖果按质量3∶2∶1的比例混合销售. 问题1:如何对混合糖果定价才合理 问题2:什么是权数 什么是加权平均 问题3:如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,你能解释权数的实际含义吗 离散型随机变量的均值 设离散型随机变量X的分布列如下表: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望). 均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量X取值的平均水平,是随机变量X的一个重要特征. 一个袋子中装有6个黑球,2个白球,它们除颜色外其他完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出1个球,直到2个白球都被取出为止,以X表示袋中还剩下的黑球个数. (1)记事件Ak表示“第k次取出的是白球”,k=1,2,…,8,求P(A5|A2); (2)求X的分布列和数学期望. 【方法总结】求离散型随机变量ξ的均值的步骤:(1)根据ξ的实际意义,写出ξ的全部取值;(2)求出ξ的每个值的概率;(3)写出ξ的分布列;(4)利用定义求出均值.其中第(1)(2)步是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重应用概率的相关知识. 某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.求: (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率; (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望. 期望的性质与应用 已知随机变量X的分布列如下: X -2 -1 0 1 2 P m 问题1:求m的值. 问题2:求E(X). 问题3:若Y=aX+b,则E(X)与E(Y)之间有什么关系 问题4:若Y=2X-3,求E(Y). 期望(均值)的性质 (1)若X为常数C,则E(X)=C. (2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 一、离散型随机变量均值的性质 已知离散型随机变量X的分布列如下表: X 0 1 2 P 0.64 q2 1-2q 则E(-2X+3)=( ). A.1.88 B.1.72 C.1.56 D.1.4 【方法总结】求线性关系的随机变量η=aξ+b的均值方法 (1)定义法:先列出η的分布列,再求均值. (2)性质法:直接套用公式E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b,求解即可. 已知X的分布列为 X -1 0 1 P a 设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是( ). A.- B. C.1 D. 二、均值的实际应用 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X ... ...
