7.5 正态分布 【学习目标】 1.利用实际问题的频率分布直方图,了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.(数学抽象) 2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质及意义.(数学抽象、直观想象) 3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.(数学运算、数据分析) 【自主预习】 1.正态曲线的函数表达式是什么 2.X服从正态分布如何表示 3.什么是3σ原则 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正态密度函数中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差. ( ) (2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的图形的面积是随参数μ,σ的变化而变化的. ( ) (3)正态曲线可以关于y轴对称. ( ) 2.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件零件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ).(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈95.45%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 3.已知正态分布总体落在区间,+∞内的概率为,那么相应的正态曲线f(x)在x= 时达到最高点. 4.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.841 3,求P(-1≤ξ≤0). 【合作探究】 正态曲线 设X表示某产品的寿命(单位:h).人们对该产品有如下的了解:寿命小于500 h的概率为0.71,寿命在500 h~800 h的概率为0.22,寿命在800 h~1 000 h的概率为0.07.由此我们可以画出下图. 问题1:这个图形能告诉我们产品寿命在200 h~400 h的概率是多少吗 问题2:若将组距缩小,如下图所示,则可以了解到更多信息.若将组距无限细分,会是什么形状 问题3:正态分布描述的随机变量X是离散型的吗 问题4:你能写出正态密度函数的表达式吗 能从函数的角度分析它的图象特征吗 1.正态曲线 (1)定义:由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图所示,对应的分布密度函数解析式为f(x)=·,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线. (2)误差模型 正态分布是很常见、很重要的连续型随机变量的分布,是刻画误差分布的重要模型,因此也称为误差模型. 2.正态分布 (1)定义:若随机变量X的概率分布函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布. (2)期望与方差:若X~N(μ,σ2),则E(X)= ,D(X)= . 3.正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,关于直线 对称. (3)曲线在x=μ处达到峰值. (4)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线. (5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移. (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中. 一、正态密度函数及正态曲线 如图,这是一条正态曲线,试根据该图象写出其正态密度函数的解析式,并求出总体随机变量的期望和方差. 【方法总结】利用图象求正态密度函数的解析式,应抓住两个实质性特点:一是图象的对称轴为直线x=μ,二是函数的最大值为.这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,代入f(x)中便可求出相应的解析式. 在正态分布中,当σ=1,μ=0时,正态密度函数为P(x)=(x∈R),则P(x)的最大值为 . 二、正态曲线的性质 某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,故成绩分布的直方图可视为正态分布),则由曲线可得下列说法中正确的一项是( ). A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙三科总体的平均数不相同 【方法总结】由正态曲线的性质可以求参数μ,σ:(1)正态曲线是单峰的,它关于直 ... ...
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