1.3.3 等比数列的前n项和 学案（含答案） 2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修2

1.3.3 等比数列的前n项和 【学习目标】 1.会用错位相减法推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式，并能够和实际问题相互联系，进而感受等比数列的实际运用.(数学建模) 2.能够正确推导有关等比数列前n项和的性质，并能够进行灵活运用.(逻辑推理) 3.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题，初步学会分类讨论的数学思想.(数学运算) 【自主预习】 1.公比为1的等比数列的前n项和Sn如何计算 2.当q≠1时，如何计算等比数列的前n项和Sn 3.当等比数列的公比为字母时，求{an}的前n项和要注意什么 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. (　　) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn=na. (　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列. (　　) 2.在等比数列{an}中，a1=1，q=2，则S5=　　　　. 3.某厂去年的产值为a，计划在今后5年内每年比上一年的产值增长10%，则从今年起5年内该厂的总产值为　　　　. 4.已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S3=10，S6=20，则S9=　　　　. 【合作探究】 　等比数列的前n项和公式 　　已知等比数列{an}的公比为q，Sn是其前n项和，则Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. 问题1：若q=1，则Sn与a1有何关系 问题2：若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗 如何表示 　　在等比数列{an}中，Sn= 求和公式的推导方法：乘公比，错位相减.为解题方便，有时可将求和公式变形为Sn=Bqn-B(q≠1)，其中B=，q≠0且q≠1. 在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，q为其公比. (1)若S2=30，S3=155，求Sn； (2)若a1+a3=10，a4+a6=，求S5； (3)若a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求q. 【方法总结】　　解决此类问题的方法是先求出等比数列的首项a1与公比q，再代入等比数列{an}的前n项和公式求得Sn. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=，a2a6=8(a4-2)，则S2 020=(　　). A.22 019- B.1-2 019 C.22 020- D.1-2 020 在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，q为其公比. (1)若an=2n，求S6； (2)若Sn=189，q=2，an=96，求a1和n. 　a1，q，n，an，Sn中知三求二 问题：在等比数列{an}中，若已知q，n，an，如何求a1和Sn 　　在等比数列{an}的五个基本量a1，q，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换.根据等比数列{an}的前n项和公式列方程时还要注意对q是否为1进行讨论. (1)在等比数列{an}中，a3=7，前3项之和S3=21，则公比q的值为　　　　. (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则=　　　　. 【方法总结】等比数列{an}中的五个基本量a1，an，n，q，Sn能够“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时要用到换元法. 已知等比数列{an}中，a1=2，S3=6，求a3和公比q. 　等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn. 问题1：当q≠1时，从函数的角度分析Sn关于n的解析式对应的函数模型是什么 问题2：数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析. 问题3：Sm，Sn，Sm+n之间有什么等量关系 利用等比数列求和公式进行推导. 问题4：S奇，S偶分别是多少 两者之间具有什么关系 对n进行分类讨论. 1.若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0，a≠1，n∈N*)，则数列{an}是等比数列. 2.若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…构成等比数列，且公比为　　. 3.若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sm+n=Sn+qnSm.若等比数列{an}的前n项和为Sn，则等比数列 ... ...