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课件网) 湘教版高中必修第二册 向量的数乘 教学课件 目 录 01 新课导入 02 新知探究 03 典型例题 04 拓展提高 05 课堂小结 06 作业布置 湘教版高中必修第二册 新 课 导 入 1 新课导入 我们可用一把尺子去度量所有线段的长度，也就是把每条线段的长度写成这把尺子的非负实数倍。 思考一下：如果把某个向量看作一把尺子，能用这把向量尺子去度量平面上的所有向量吗？ 新 知 探 究 2 则OB=OA+AB=a+a. 于是，很自然地将OB=a+a定义为a的2倍，记作2a. 新知探究| 一、向量的实数倍 已知=a, 在OA的延长线上作=a，如图， → → → O B A a a → 2a OB与OA的方向相同，即|2a|=2|a|. 你能发现什么？ → → 新知探究| 一、向量的实数倍 O C B A a a 我们还可在图中作OB的相反向量OC,则OC=-OB=-2a，同样可将OC=-2a定义为a的-2倍，记作-2a. -2a 2a → → → → → 类比上述结论，你发现了什么？ OC与OB的方向相反，即|-2a|=2|a|. → → 新知探究| 归纳总结 一般地，实数λ与向量a的乘积是个向量，记作λa.称为a的λ倍，它的长度|λa|=|λ||a|. 当λ≠0且a≠0时，λa的方向 当λ>0时，与a同向， 当λ<0时，与a反向; 当λ=0或a=0时，λa=0a=0或λa=λ0=0. 新知探究| 归纳总结 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘. 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小. 我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量. 如图，在△OAB中，M、N分别是0A、0B的中点.设M0=a,ON=b,试用a, b表示MN,AB.并比较MN与AB的长度和方向. 新知探究| 练一练 O M B A N → → → → → → 解: MN=MO+ON=a+b. AB=AO+OB=2a+2b=(a+a)+(b+b) =(a+b)+(a+b) =2MN. 故AB与MN方向相同，且|AB|=2|MN|. → → → → → → → → → → → 结论就是三角形中位线定理. 已知OA=a, 新知探究| 二、共线向量 在直线OA外任取一点O ，从点O 出发作O B=3a，O C=-3a. O A a → → → O B 3a C -3a 观察上图，你有什么发现？ 向量a与λa(λ∈R)可分別用同一条直线 上的有向线段表示，也可分别用相互 平行的有向线段表示。 新知探究| 二、共线向量 由此我们可以得出： 一般地，如果非零向量a, b方向相同或相反，则可以将它们用同一条直线上的有向线段或相互平行的有向线段表示。 因此，当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a, b共线，也称a，b平行，并且用符号“//”来表示它们共线(或平行)，记作a//b. 由于零向量的方向是任意的，可以看成与任何一个向量方向相同，因此我们规定:零向量与所有的向量平行。 新知探究| 二、共线向量 由向量平行和向量数乘的定义可以推知: 两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍. a//b 存在实数λ，使得b=λa或a=λb. 两个向量是否共线，也可从它们的夹角来判断: 新知探究| 二、共线向量 O B A b a b a 如图，设a,b是两个非零向量，任选一点O,作OA=a,OB=b,则射线OA, OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角，记作
，取值范围规定为[0,π]。在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了， 并有=. 新知探究| 二、共线向量 O B A b a b a 当θ=0时，a, b方向相同; 当θ=π时，a, b方向相反. 这两种情形下a, b所在直线重合，即a, b共线. 当0<0<π时,a, b所在直线相交于点O,即a,b不共线。 可以规定零向量0与a的夹角为0，零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，零向量与任一向量垂直。 新知探究|练一练 1.对非零向量a,b,“a+b=0”是“a//b”的（ ）。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A 由a+b=0得a=-b,故a//b， 但a//b不一定得a+b=0,故选A。 新知探究|练一练 ... ... 
