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课件网) 18.1 平行四边形的性质 （第二课时） 学习目标 1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质（重点） 2.运用平行四边形的性质求平行四边形的周长和面积（难点） 新课导入 观察一下：我们知道平行四边形是中心对称图形，绕中心O旋转180°后，你发现对角线什么特征 你有什么猜想？ A B C D O 通过以上过程，我们可以看出， ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，有 OA=OC、OB=OD 平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 新课学行四边形的面积与周长 平行四边形的面积=底×高 平行四边形的周长=两邻边和的2倍 符号表示： S ABCD=BC·DF=AB·DE C ABCD=2(AB+BC) 新课学习 思考一下：对于上述性质进行证明 已知：如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 分析：要证明相等的OA与OC、OB与OD分别属于△AOB与△COD，因此只需证明这两个三角形全等即可. A C D B O 3 2 4 1 新课学习 证明：在 ABCD中，如图， A C D B O 3 2 4 1 有AD=BC，AD∥BC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴△AOD≌△COB（ASA） ∴OA=OC，OB=OD. 新课学习 例1 如图， ABCD的对线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少 A C D B O 在 ABCD中 ∵AB=6，AO+BO+AB=15 ∴ AO +BO=15-6=9 又∵AO=OC，BO=OD(平行四边形的对角线互相平分) ∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18 新课学习 例2 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AD、BC分别相交于点E和点F.求证：OE=OF. A C D B O E F 分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可. 新课学习 A C D B O E F 证明： ABCD中 有OB=OD(平行四边形的对角线互相平分) ∵AD∥BC ∴∠DEO=∠BFE 又∵∠DOE=∠BOF ∴△DEO≌△BFO ∴OE=OF 新课学习 思考一下：根据上面的例题，平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？ A B D O E F C A B C D O E F 结论：平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等. 新课学习 对于上面的结论证明一下： A B C D O F E 设直线EF交AD,BC于点N,M. N M ∵AD∥BC,∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO. 又∵AO=CO, ∴△NAO≌△MCO， ∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB =S△AOB+S△COB= . ∴S四边形ANMB=S四边形CMND, 即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等. 新课学习 例3 如图， ABCD的对角线AC与DB相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2.求边AB和BC的长. A C D B O 在 ABCD中 有OA=OC(平行四边形的对角线互相平分) ∵△AOB的周长+2=△BOC的周长 ∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，即AB+2=BC 又∵ ABCD的周长等于16 ∴2(AB+BC)=16，即4AB+4=16 ∴AB=3，BC=5 新课学习 例4 如图，在 ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为点E，且BE=5cm，AD=7cm.求AD和BC之间的距离. D B C A E 设AD，和BC之间的距离为x，则 ABCD的面积等于AD·x ∵S ABCD=2S△ABC=AC·BE ∴AD·x=AC·BE，即7x=21×5 ∴x=15(cm). 即AD和BC之间的距离为15cm. 新课学习 思考一下：在例4中，你知道为什么AD·x=AC·BE？ ∴ BC=DA, AB=CD ∵四边形ABCD是平行四边形 又AC=CA ∴△ABC≌△CDA,即S△ABC=S△CDA ∴ S ABCD=2S△ABC=AC·BE ∴ 在 ABCD中，AD边上的高为x ∴ 根据平行四边形的面积公式，有S ABCD=AC·x ∴ AD·x=AC·BE 新课学行四边形的性质 研究对象 研究结果 几何表示 对边 对角 邻角 对角线 平行且相等 相等 互补 互相平分 O B A C D AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC ∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC ∠BAD+∠ABC =180° AO=CO，BO=DO 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 C 课堂 ... ...
