13.3 培优课 立体几何中的截面、展开与折叠问题（课件+学案+练习，共3份） 苏教版（2019）必修 第二册

培优课　立体几何中的截面、展开与折叠问题 课标要求　1.熟悉立体几何中的截面问题. 2.掌握立体图形展成平面问题. 3.掌握平面图形的折叠问题. 【引入】 在立体几何中，经常出现截面、翻转、展开为平面及平面图形的折叠等问题，这就是我们这节课学习的主要内容. 一、截面问题 例1 (1)已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是(　　) A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.五边形 D.正六边形 (2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，当E，F，G分别是B1C1，C1D1，B1B的中点时，平面EFG截正方体所得截面的周长为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　(1)常见问题有：判断截面图形的形状，判断截面与其他直线(平面)的位置关系，计算截面的边长、周长和面积(或者求相关几何体的表面积、体积). (2)要把握好“定位”“定形”“定量”这三个环节.首先，由已知条件作出截面与空间几何体的交线；其次，根据线面位置关系的相关定理确定截面的基本特征；最后，运用平面几何的有关知识计算截面的边长、周长、面积等.其中，作出空间几何体的截面图形是解决问题的关键. 训练1 (1)用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为(　　) ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形； ⑤圆. A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.①②③④⑤ (2)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱AA1＝，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点的截面的面积为(　　) A. B.4 C.5 D.6 二、展成平面问题 例2 (1)一个边长为1和4的矩形，绕它的长为4的边旋转一周后得如图的一开口容器(下表面密封)，P是BC中点.现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所经过的最短路程为(　　) A. B. C. D. (2)已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P为直线CE上的动点，则BP＋DP的最小值为　　　　. 思维升华　(1)当求几何体表面距离最小时，一般将表面展开成平面； (2)当涉及几何体内的线段和表面的线段时，应注意观察这两条线段处的平面，一般需转动一个平面使之与另一平面处于同一个平面. (3)当无法展开时，可用补形法. 训练2 (1)如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4，则这个圆锥的体积为　　　　. (2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝BC＝，cos∠ABC＝，P是A1B上的一动点，则AP＋PC1的最小值为　　　　. 三、平面图形的折叠 例3 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D为EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G. (1)在四面体S－EFG中，请写出不少于3对两两垂直的平面，并证明其中的一对； (2)若正方形的边长为4，求点G到平面SEF的距离. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　平面图形翻折为空间图形的关键是看翻折前后线面位置关系的变化， ... ...